«Привет, гипотеза Якоби неверна, спасибо»: почему из-за крошечного поста в соцсетях математики переосмысливают искусственный интеллект

В то время как миллионы людей приходили в себя после финала чемпионата мира по футболу в начале этой недели, в математическом сообществе нарастало другое напряжение.

Левент Алпеге, математик, работающий в компании Anthropic, занимающейся разработкой искусственного интеллекта (ИИ), очень непринужденно заявил в соцсети X, что нашел контрпример к гипотезе Якоби — очень старой и хорошо известной проблеме в области математики, называемой алгебраической геометрией. Он сделал это с помощью большой языковой модели Claude Fable 5 от Anthropic, представленной широкой публике всего несколько недель назад.

Это лишь один из многих поразительных математических прорывов, сделанных учеными, работающими с большими языковыми моделями. Но этот прорыв немного отличается от предыдущих.

Что такое гипотеза Якоби?

Во-первых, что такое гипотеза? Это идея, которую некоторые математики считают верной, но которую никто не смог ни доказать, ни опровергнуть.

Теперь перейдем к гипотезе Якоби. Она довольно абстрактна, но ее не так сложно описать.

Гипотеза касается функций, которые представляют собой небольшие машины, в которые вы вводите одно или несколько чисел, а на выходе получаете другие числа в соответствии с каким-либо правилом или уравнением. В данном случае функции используют так называемые многочлены.

В частности, речь идет о ситуациях, когда числа представляют собой точки в пространстве, например координаты на карте. Таким образом, можно представить, что когда функция принимает одни числа и выдает другие, она перемещает точки в пространстве.

Вы можете проверить, насколько «аккуратно» функция перемещает объекты в пространстве, вычислив так называемый определитель Якоби. Если определитель Якоби всегда представляет собой постоянное число, не равное нулю, то функция никогда не деформирует пространство вокруг определенной точки.

Гипотеза Якоби утверждает, что если определитель Якоби является ненулевой константой, то всегда должна существовать другая функция, также состоящая из многочленов, которая обращает исходную функцию. Это вернет все точки в исходное положение.

Не каждая функция обратима. Например, если наша исходная функция объединяет две исходные точки в одну, то мы не сможем обратить ее. После объединения точек мы не сможем различить их, чтобы вернуть на прежние места.

Долгая история попыток — и неудач

Двумерная версия гипотезы Якоби была сформулирована чешским математиком Людвигом Краусом в 1884 году. В 1939 году немецкий математик Отт-Генрих Келлер обобщил ее на любое количество измерений.

Она считалась настолько важной, что лауреат Филдсовской премии Стивен Смейл включил ее в свой список математических проблем следующего столетия 1998 года.

За свою долгую историю гипотеза Якоби была предметом многих предполагаемых доказательств, в том числе со стороны Беньямино Сегре и Вольфганга Грёбнера, двух знаменитых математиков XX века. Однако в каждом случае были обнаружены незначительные ошибки, которые делали доказательства несостоятельными.

Несмотря на это, был предпринят ряд обоснованных попыток доказать, что гипотеза верна при различных ограничениях. Вычислительные результаты также показали, что она верна в двух измерениях для полиномов до 100-й степени (то есть включая степени переменных до 100).

Но никто не доказал это утверждение в общем случае и не нашел пример, опровергающий его.

Обманчиво простой ответ

Одна из главных причин, по которой гипотеза о якобиане так интригует, заключается в том, что теоретически найти контрпример должно быть несложно. Легко привести примеры функций, которые объединяют точки, а также примеры полиномиальных отображений с постоянным определителем Якоби.

Однако найти полиномиальное отображение, обладающее обоими свойствами, — задача не из простых. Действительно, как отметил один пользователь Math Stack Exchange в посте 2017 года, «насколько нам известно, какой-нибудь умный студент может просто написать формулу [...], которая станет контрпримером к этой гипотезе».

Действительно, так оказалось в случае с функцией Альпёге, которая достаточно проста, чтобы уместиться в один пост на X. Он нашел пример функции в трехмерном пространстве, у которой постоянный определитель Якоби равен -2 и которая переводит несколько входных точек в одну выходную точку, то есть она необратима.

Это доказывает, что гипотеза неверна для любого измерения больше двух, при этом исходная гипотеза для двух измерений остается открытой. Краткость контрпримера позволила другим математикам легко его проверить.

Последнее достижение в растущей серии

Открытие Альпёге — последнее в череде громких математических прорывов, совершенных с помощью больших языковых моделей. Среди недавних примеров — опровержение гипотезы о единичном расстоянии от OpenAI и доказательство проблемы 1196 Лиама Прайса, 23-летнего математика-любителя.

Оба примера иллюстрируют одну из самых ярких сильных сторон моделей искусственного интеллекта. Они могут использовать идеи из разных областей математики, комбинируя их по-новому для получения поразительных результатов.

На момент написания статьи не было обнародовано подробностей о том, как именно Альпёге побудил модель искусственного интеллекта создать контрпример к гипотезе Якоби и как выглядел результат. Однако пока что этот результат выглядит иначе.

В отличие от многих других недавних прорывов, связанных с искусственным интеллектом, сам контрпример на удивление прост. Сложность его поиска, по-видимому, заключалась не в замысловатой конструкции или длинном доказательстве, а в том, чтобы найти эффективный способ навигации в огромном пространстве возможных полиномиальных отображений и подобрать отображение с нужными свойствами.

Это говорит о том, что искусственный интеллект может оказаться столь же ценным инструментом для открытия неожиданных математических объектов, как и для построения доказательств. Что это значит для будущего математики и математиков-людей, пока неясно.

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: theconversation.com

Комментарии: