Есть одна особенность математики, к которой трудно привыкнуть, если смотреть на неё достаточно долго

Есть одна особенность математики, к которой трудно привыкнуть, если смотреть на неё достаточно долго. Парадоксальным образом иногда математическая конструкция появляется задолго до того, как становится понятно, зачем она вообще нужна, а затем неожиданно обнаруживается в описании физической реальности. Кажется ведь очевидным, что числа, которые никто не создавал ради физики, вдруг оказываются вписаны в физику. Но так ли это, действительно ли связи математики с физикой изначально нет? Ведь сама возможность счета берется из фундаментальных законов происходящего, которое разделяется на части, которое имеет в своем пространстве деление на симметричное и асимметричное.

История комплексных чисел - один из известных примеров возникновения (обнаружения) странной связи с физикой. В XVI веке при решении некоторых кубических уравнений возникали выражения с квадратным корнем из отрицательного числа (потому что использовался метод квадратов и при решении кубических уравнений возникала невозможная отрицательная площадь). Для человека, привыкшего считать числа выражением количества или длины, это выглядело почти бессмысленно. Что может означать число, квадрат которого равен минус единице? Тем не менее математики научились обращаться с такими объектами формально, а постепенно стало ясно, что комплексные числа не являются бесполезной причудой. Сегодня они естественно входят в математический аппарат квантовой механики: комплексной является волновая функция, а её фаза играет существенную роль в интерференции.

Это не доказывает, что комплексные числа каким-то образом «существовали» в природе до того, как их придумали люди. Но сама история заставляет задуматься о том, что означает слово «придумали». Почему инструмент для описания вещи, которую нельзя представить буквально подошел для описания другой такой вещи? Если человеческий разум создаёт формальную систему, не имея конкретного физического применения, а через несколько столетий эта система становится необходимой для физики, где проходит граница между изобретением и открытием?

Похожее удивление вызывают математические связи, которые невозможно было заранее ожидать. В теории чисел существует модулярная функция (j), обладающая чрезвычайно богатой симметрией. В абстрактной алгебре, совсем в другом направлении, была обнаружена самая большая из известных спорадических конечных простых групп — группа Монстр, настолько огромная, что в ней примерно 8*10^53 элементов. Казалось бы, эти объекты принадлежат совершенно разным математическим мирам. Однако коэффициенты разложения (j)-функции оказались связаны с размерностями представлений Монстра. Например, знаменитое число (196884) раскладывается как (196883+1). Позднее была найдена более глубокая конструкция, объясняющая эту связь через вертекс-операторную алгебру.

Это явление получило почти сюрреалистическое название — Monstrous Moonshine, «чудовищное лунное сияние». Но за необычным названием стоит вполне строгая математика. Именно это особенно интересно. Таинственность здесь не возникает из отсутствия объяснения; наоборот, она возникает после объяснения. Когда связь становится понятной, мы начинаем спрашивать, почему вообще разные математические конструкции оказались способны встретиться в одной более глубокой структуре.

Есть и другой пример. В нелинейных динамических системах существует переход от регулярного поведения к хаосу, который может происходить через последовательность удвоений периода. Если смотреть на расстояния между такими переходами, обнаруживается число примерно (4{,}669201609...), известное как константа Фейгенбаума. Удивительно здесь не само существование ещё одного иррационального числа, а его универсальность: сходное значение возникает в широком классе совершенно разных систем. Математическое объяснение связано с ренормгруппой и определённой универсальной структурой перехода к хаосу.

Снова возникает тот же вопрос. Почему природа, состоящая из совершенно разных материалов и процессов, иногда подчиняется одной и той же абстрактной схеме?

Можно ответить: потому что математика ищет именно инвариантные структуры и отбрасывает несущественные детали. Тогда универсальность уже не кажется такой загадочной. Разные физические системы могут быть похожи на глубоком уровне именно потому, что конкретные детали перестают играть роль. Это хорошее объяснение. Но оно только переносит вопрос на следующий уровень: почему в природе вообще существуют такие структуры, которые допускают подобное математическое упрощение?

Вопрос Вигнера о «непостижимой эффективности математики» возникает именно здесь. Возможно, никакой мистики в нём нет, просто человеческий мозг чрезвычайно хорошо умеет выделять регулярности. Возможно, мы называем математикой наиболее удачные способы делать это. Но тогда остаётся объяснить, почему мозг выделяет эти регулярности, почему они вообще есть и почему используемые людьми способы работают не только с привычными объектами повседневного опыта, но и с квантовыми состояниями, чёрными дырами или геометрией пространства-времени.

Можно сказать, что мозг сформировался в мире, а потому естественно приспособлен к его регулярностям. Мы не были созданы для изучения квантовой механики, но способность распознавать закономерности, сравнивать, абстрагировать и строить модели возникла в среде, где определённые закономерности действительно существовали, где следы “квантового зверя” влияли на все, в том числе и на формирование мозга (он - один из его “следов”). В этом смысле математическое мышление может быть очень сложным продолжением обычной способности организма ориентироваться в окружающей среде.

Современная нейронаука предлагает для этого интересную картину. Мозг можно рассматривать как систему, которая постоянно строит предположения о причинах сенсорных сигналов и сравнивает их с поступающей информацией. Мы не просто получаем готовый мир через органы чувств; мы непрерывно формируем его рабочую модель и корректируем её по мере ошибок.

Но здесь появляется странная петля. Мозг является результатом эволюции в физическом мире. Затем этот мозг создаёт модели физического мира. И с помощью этих моделей обнаруживает закономерности, которые позволяют ещё лучше описывать мир, породивший сам мозг.

Где в этой последовательности находится объективная реальность, а где - способ её представления?

Возможно, вопрос поставлен неверно.

Мы привыкли представлять наблюдателя как нечто находящееся снаружи: вот существует мир, а вот человек, который смотрит на него. Но человек сам является частью мира. Его нервная система, язык, тело и история возникли внутри той же реальности, которую он пытается познать. Мы не можем буквально выйти из этой системы и посмотреть на неё со стороны.

В этом отношении старая кантовская мысль сохраняет силу. Мы не имеем непосредственного доступа к «вещи самой по себе». Всё, что появляется в опыте, уже каким-то образом оформлено условиями самого познания - пространством, временем, категориями рассудка.

Это не означает, что внешнего мира нет. Такой вывод был бы слишком сильным. Скорее, речь идёт о более скромном ограничении: мы никогда не можем сравнить наш опыт с каким-то абсолютно неинтерпретированным опытом и проверить, насколько точно он соответствует реальности «самой по себе».

Отсюда возникает герменевтический круг. Чтобы понять что-либо, мы уже должны иметь некоторое предварительное понимание. Чтобы подвергнуть сомнению собственные предпосылки, нам нужны понятия, которые сами сформированы внутри определённой культуры и языка. Мы не начинаем с чистого нуля.

Даже феноменологическая эпохе - попытка временно взять в скобки наши привычные представления о мире - не может быть совершенно нейтральной. Само решение применить эпохе возникает из определённой интеллектуальной истории. Мы не можем снять с себя все культурные слои одним движением. Да и нельзя отказаться от того, что создает саму способность отказываться и принимать.

Хотя иногда почему-то это работает: ведь от эпохе не требуется невозможного. Пусть о идеях о фундаментальном в происходящем мы тоже научаемся судить и думать после того, как усвоим соответствующий культурный код, и мы не обойдемся без допущений, но само то, что культурный код появлялся вместе с мозгом в эволюции, в меняющемся мире, можно считать обоснованием того, что он не “чужероден”, не говорит о чем-то совершенно ином. Возможно, эпохе нужно не для достижения абсолютно чистого опыта, а для того, чтобы заметить собственные предпосылки, это своебразный завиток в течении культуры, который исследуют саму культуру в том, как она “устанавливалась” на человека и человечество. “Эпохе” просто отбрасывает все, что является “установленной программой”. То, что в конечном итоге оно обнаруживает, что само является “программой”, не отменяет его возможностей. Аналогично с деконструкцией Деррида. Это, помимо прочего, позволяет понять, что всё, буквально “всё” - “работает”, но только внутри особого пространства, которое его и породило (породило потому же, почему оно работает). Герменевтический круг - не порочный, он предструктура происходящего.

Если сделать такой шаг, обнаруживаются довольно простые особенности опыта. Мы различаем вещи. Узнаём тождество и изменение. Замечаем последовательность: что-то произошло раньше, другое позже. Различаем здесь и там, внутри и снаружи. Видим повторения, симметрии, границы, части и целые.

Поразительно, насколько хорошо многие из этих различий переводятся на математический язык. Тождество и различие получают формальное выражение в логике и теории множеств. Последовательность становится предметом теории порядков и алгоритмов. Пространственность - геометрии и топологии. Симметрия - теории групп. Граница и переход - понятиям предела и топологии. Периодичность - анализу Фурье и модулярным формам. Вероятно, все стало бы проще, если бы получилось выстроить формальную логику с учетом всех фундаментальных особенностей “того, что происходит” и принципов работы нейронных сетей в мозгу (найти нейрокорреляты всех логических операций и “причесать” этим всю систему: учесть то, что в феноменах происходящего что-то может быть слито воедино или разделено самими свойствами этих коррелятов).

Здесь очень легко сделать лишний шаг. Можно сказать: вот фундамент математики найден. Все математические структуры возникают из нескольких первичных мотивов опыта. Но такое утверждение кажется слишком уверенным. Возможно, мы просто выбираем те особенности опыта, которые хорошо поддаются формализации, и затем удивляемся тому, насколько хорошо они поддаются формализации. Мы почти наверняка не замечаем множество других аспектов опыта именно потому, что для них у нас нет столь эффективного языка.

Тем не менее сама мысль о первичных различениях полезна. Она позволяет посмотреть на математические «чудеса» немного иначе. Может быть, разные математические области связаны не потому, что где-то существует единая сверхматематическая формула, а потому, что они снова и снова работают с одними и теми же базовыми операциями: различением, повторением, симметрией, объединением, переходом.

Тут стоит вспомнить идею бытия (загадка - сам факт существования чего угодно) и феномен времени. Они как концепты тоже появились в том числе как инструменты - для чего-то. Реальность ведь можно рассмотреть не как собрание готовых предметов, а непрерывное возникновение и исчезновение различий.

Мы замечаем событие потому, что оно отличается от того, что было до него. Видим границу потому, что различаем две области. Узнаём повторение потому, что сохраняем предыдущее и сопоставляем его с настоящим. Даже число можно в каком-то смысле понимать как устойчивое различение: один, ещё один, ещё один.

Если это так, то математика могла бы рассматриваться как система, в которой такие различения получают максимально точную форму. Возможно, разные математические структуры напоминают разные способы, которыми мы можем организовывать различия. А физика показывает, что некоторые из этих способов удивительно хорошо соответствуют поведению реального мира.

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: