Если спросить физика о главной загадке его науки, разговор очень быстро придёт к природе пространства, времени или квантовых структур

Если спросить физика о главной загадке его науки, разговор очень быстро придёт к природе пространства, времени или квантовых структур. Биолог, скорее всего, заговорит о происхождении жизни или сознания. Космолог вспомнит о тёмной материи и тёмной же энергии. А вот с математиком такой фокус не пройдёт…

Нет в математике единственного вопроса, вокруг которого строится вся дисциплина. Нет «философского камня» — своеобразной монолитной «теории всего», открытие которой позволило бы науке подвести итоги. Можно подумать, что математика вообще лишена подобных фундаментальных проблем. На самом деле всё наоборот: её самые важные вопросы находятся настолько глубоко, что касаются уже не отдельных формул, а самой природы математического знания.

Первый из них на удивление прост в понимании, и уже обсуждался нами ранее: открывают математику или же изобретают? Казалось бы, чего тут думать: люди придумали цифры и иже с ними, но вы ведь помните, что на этот вопрос можно посмотреть и под другим углом?

Взять хотя бы окружность. Если бы человечество не зародилось, разве отношение её длины к диаметру перестало бы равняться числу пи? Изменилась бы теорема Пифагора? Исчезли бы простые числа? Большинство учёных ответят, что нет, следуя своему убеждению, что математические объекты не зависят от нашей воли. Мы их не создаём, а открываем, подобно астрономам: космос ведь существовал задолго до изобретения телескопов. Эта позиция называется математическим платонизмом, и веками остаётся одной из самых влиятельных.

И это неспроста. Подумайте: учёные могут годами биться над одинаковым вопросом и независимо прийти к общим выводам. Одни и те же структуры всплывают в абсолютно оторванных друг от друга разделах. Когда теорема из области топологии вдруг закрывает вековой пробел теории чисел, уже не до скепсиса. Получается, математик не изобретает правила на ходу, а прорубает окно в реальность, существующую объективно.

Некоторые считают математику языком, который человечество постепенно создаёт для описания закономерностей окружающей действительности. Мы сами выбираем аксиомы, обозначения и правила вывода. Если изменить исходные предположения, получится совершенно другая математическая теория. В этом смысле математика напоминает шахматы. Правила придуманы людьми, однако после их принятия все дальнейшие партии подчиняются объективной логике.

Сложно закрыть этот спор каким-то единым мнением. Да что уж мы-то сделаем, если даже выдающиеся математики своих эпох всю жизнь метались между этими взглядами!

В XX веке пальму первенства взял вопрос, воспринятый на удивление болезненно. Многих учёных того времени охватила подлинная одержимость идеей выстроить безупречную математику, где нет места парадоксам. Ставка делалась на существование такой аксиоматики, в которой абсолютно любое точно сформулированное утверждение может быть или доказано, или опровергнуто. Они грезили о безупречной логической машине, где каждый вопрос обязательно получит окончательный ответ.

Словами не описать, что с ними сотворилось в 1931 году, когда Курт Гёдель опубликовал свои две знаменитые теоремы о неполноте! Оказалось, что любая достаточно богатая формальная система — в частности, та, в которой можно построить натуральные числа — неизбежно упрётся в фундаментальное ограничение. Там всегда появляются утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть только средствами самой системы. Попытка предопределить все ответы дополнительными аксиомами приведёт к другой проблеме — система может потерять внутреннюю непротиворечивость.

Это открытие потрясло научный мир. Математика от этого, впрочем, совсем не пострадала — даже наоборот, лишь ускорила своё развитие после работ Гёделя. Но надежда когда-нибудь развить математику в совершенный монолит, где любое утверждение можно вывести и со строгостью проверить, рухнула безвозвратно. Человечеству пришлось признать ограниченность даже столь точной науки.

В своих работах я уже вспоминал Юджина Вигнера, поднимавшего вопрос о «непостижимой эффективности математики в естественных науках». Вот вам и ещё один главный вопрос: по какой причине математика так хорошо описывает окружающий нас мир?

Одни вторят Тегмарку, заявляя, что Вселенная действительно устроена математически, поэтому любая достаточно глубокая теория рано или поздно найдёт своё применение. Другие предполагают, что человечество случайно создаёт модели, описывающие окружающую действительность весьма правдоподобно — тогда удивляться нечему.

Многие назовут главными вопросами математики список так называемых «задач тысячелетия». Вспоминают преимущественно Перельмана и связанную с ним теорему Пуанкаре, гипотезу Римана, проблему равенства классов P и NP, гипотезу Ходжа или уравнения Навье — Стокса. Вне всяких сомнений, это центральные вопросы современной математики, однако их значимость сформировалась уже внутри устоявшейся системы.

Вопросы о том, что такое сама математика, почему она работает и где проходят границы доказуемости, глубже, чем может показаться — они ведь касаются уже не отдельных разделов науки, а самого её фундамента. Это и делает математику уникальной: в ней постоянно исследуются не только числа, пространства или функции, но и её собственные основания. Очень немногие науки способны столь же последовательно задаваться вопросами о себе самих.

Вероятно, сформулировать главный вопрос математики одной фразой принципиально невозможно. Как уже было рассмотрено выше, для одних главным является вопрос о том, существует ли математический мир независимо от человека, другие интересуются тем, всякая ли истина доказуема, а третьи — тем, почему язык, придуманный людьми, так точно описывает Вселенную. В действительности взглядов гораздо больше, но здесь мы ограничимся этими тремя.

Даже по ним уже понятно, что если такой вопрос и существует, то однозначно далёк от конкретики. Это может быть вопрос о природе знания как такового, выводящий обсуждение математики на философский уровень. И, пожалуй, лучше всего закончить мысль вопросом к вам: если такой вопрос существует, то что это, по-вашему, за вопрос? О чём он и как формулируется

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: