Об одном функциональном пространстве

Когда говорим о пространствах функций, первыми в голову приходят пространства Лебега L?, может быть пространства Соболева, а также различные пространства непрерывных функций с разными уточнениями: непрерывные на компакте, непрерывные с компактным носителем, непрерывно дифференцируемые n раз. Напомню некоторые свойства пространства C[0,1] – всех непрерывных функций x(t) на единичном отрезке:

- Так как их область определения компактна, непрерывность влечёт за собой ограниченность и достижение минимума и максимума в некоторых точках по теореме Вейерштрасса, а также равномерную непрерывность.

- Это Банахово пространство. В нём задана так называемая супремум-норма или равномерная норма: ?x? = sup{|x(t)|; t ? [0,1]}, и по ней пространство полно. Сходимость в C[0,1] по этой норме является равномерной сходимостью непрерывных функций.

- Это сепарабельное пространство. В качестве счётного всюду плотного множества по теореме опять-таки Вейерштрасса выступает множество многочленов с рациональными коэффициентами.

- Для функции x на [0,1] условие непрерывности можно выразить в терминах её модуля непрерывности: w?(r) = sup{|x(s)-x(t)|; |s-t|

- По теореме Арцела-Асколи множество K равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций является в C[0,1] предкомпактом (относительно компактным): из любой последовательности его элементов можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. На языке модулей непрерывности эти два условия можно записать так:

1) ? M>0: ? x ? K ?x? < M

2) sup{w?(r), x ? K}?0 при r?0.

Так вот, при изучении сходимости случайных процессов на отрезке условие непрерывности оказывается слишком жирным: многие интересные процессы под него не попадают. Например, траектории Пуассоновского процесса представляют из себя ступенчатые функции со скачками величиной в единицу. Поэтому в 1955 году Колмогоров поставил вопрос о введении более широкого, но всё же с не менее приятными свойствами пространства функций, и появилось пространство Скорохода ?[0,1].

• Анатолий Владимирович Скороход – автор многих основополагающих теорем в теории случайных процессов.

Сами функции, составляющие это пространство, не являются диковинкой и даже имеют устоявшееся название c?dl?g – continu ? droite, limite ? gauche (непрерывные справа и имеющие предел слева во всех точках). Весь фокус в удачном введении метрики на таком множестве функций. Равномерная метрика, как в C[0,1], плоха вот чем: возьмём две ступенчатые функции, каждая с единственным скачком с нуля до единицы где-то посреди отрезка (см. картинку). Их точки разрыва можно поставить сколь угодно близко, и тогда визуально они будут отличаться совсем чуть-чуть, но в равномерной метрике расстояние между ними останется равным единице.

Поэтому в построении метрики Скорохода участвует вспомогательный инструмент: непрерывные возрастающие биекции ?(t) единичного отрезка на себя. Функции x(t), y(t) считаются ?-близкими, если есть такая биекция, равномерно ?-близкая к тождественному отображению, что x(t) и y(?(t)) тоже равномерно ?-близки друг к другу, т е

sup{|?(t) - t|; t ? [0,1]} < ?

sup{|x(t) - y(?(t))|; t ? [0,1]} < ?

Иными словами, эта метрика даёт возможность чуть-чуть «смазать» область определения одной из функций: в одном месте растянуть, в другом за счёт этого – уплотнить. Тогда у одной функции из нашего примера можно совсем чуть-чуть сдвинуть точку разрыва, и они станут одинаковыми. Из минусов – в этой метрике пространство не полно. Полным его можно сделать, если у биекций ещё регулировать углы наклона касательных – они не должны быть слишком близко к нулю и слишком далеко от нуля.

Как видим, по определению у функций из этого пространства допускаются лишь разрывы первого рода. Притом можно проверить, что их может быть не более чем счётное число (для этого докажите, что разрывов величины больше ? может быть только конечное число), а также эти функции ограничены. Некоторые из перечисленных выше свойств C[0,1] тоже присутствуют:

- ?[0,1] сепарабельно. В качестве счётного всюду плотного множества подходят ступенчатые функции с рациональными значениями и скачками в рациональных точках.

- В ?[0,1] есть аналог модуля непрерывности: W?(r) = inf{ sup{|x(s)-x(q)|; s,q ? [t?, t?)}; {t?} – разбиения [0,1], |t? - t?| ? r} – как если бы обычный модуль непрерывности взяли на каждом непрерывном участке, а потом взяли бы максимум по всем участкам. Условие W?(r)?0 при r?0 также эквивалентно попаданию функции x в наше пространство.

- Аналогично в терминах этой штуки можно описать предкомпактность в ?[0,1]:

1) ? M>0: ? x ? K ? t ? [0,1] |x(t)| < M

2) sup{W?(r), x ? K}?0 при r?0.

Таким образом, пространство Скорохода оказывается весьма похожим на C[0,1], но не обходится в нём и без неприятностей. Например, операция сложения тут не является непрерывной.

Подробнее:

П. Билингсли, Сходимость вероятностных мер.

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: