О ВЕЛИЧАЙШЕЙ ТЕОРЕМЕ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА

Как много нужно, чтобы восстановить функцию на комплексной плоскости, производная которой существуют на ней всюду, кроме множества изолированных точек?

Формулу написал шведский математик Гёста Миттаг-Леффлер, и она — одна из самых красивых в комплексном анализе.

ПОЧЕМУ ТАКОЕ ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО НА ПЛОСКОСТИ

Чтобы понять, откуда берётся эта магия, нужно на минуту вспомнить, чем комплексные числа и функции отличаются от обычных.

Когда мы требуем от функции комплексной плоскости, чтобы у неё существовала производная, мы требуем гораздо больше, чем в школьном анализе. К точке на прямой можно подойти только слева или справа. К точке на плоскости — с любой стороны, по любой траектории, по спирали, если хочется. И предел разностного отношения должен получаться один и тот же во всех случаях. Это условие формализуется в виде условий Коши-Римана.

Функции, которые их выдерживают, называются голоморфными, и ведут они себя подобно стеклу. Вещественную гладкую функцию можно локально пошевелить, и остальной график этого не заметит. С голоморфной так нельзя: тронешь её на крошечном кусочке — и она вся, до самых далёких краёв, обязана перестроиться. Есть даже теорема: если две голоморфные функции совпали на последовательности точек, сходящейся внутри области, они совпадают всюду. Немного информации о функции здесь — это очень много информации о ней везде.

ЛАНДШАФТ С ИГЛАМИ

Теорема работает с особым классом функций — мероморфными. Представьте бескрайний холмистый ландшафт: перепады, впадины, плавные склоны, всё гладко и предсказуемо. А теперь вообразите, что в нескольких изолированных точках из этого ландшафта торчат бесконечно высокие иглы — тонкие, уходящие в небо шпили.

Это и есть мероморфная функция. Всюду, кроме отдельных точек, она голоморфна, то есть максимально приличная. А в этих точках — полюсах — обращается в бесконечность.

Примеров вокруг сколько угодно.

Простейший — 1/z: одна игла в нуле. Тангенс: иглы во всех точках ?/2 + ?k, где косинус обнуляется. Функция 1/sin z: иглы в целых кратных ?. Гамма-функция: иглы в нуле и во всех отрицательных целых точках. Любая рациональная дробь: иглы там, где знаменатель занулился.

Ключевое слово — «изолированные». Полюса не сливаются в стену, не образуют сплошной линии обрыва. У каждого есть личное пространство, вокруг него можно нарисовать окружность, внутри которой он один. Поэтому полюса можно перенумеровать: z?, z?, z?, … Уже кое-что: список точек, где функция ломается.

ВЫЧЕТЫ

Но список положений игл — это ещё не всё. Иглы бывают разные: одна взлетает вверх стремительно, другая помедленнее, третья закручивается по-своему. Нужна характеристика каждой.

Такая характеристика есть — называется вычетом.

Формально: около полюса функцию раскладывают в ряд Лорана — как ряд Тейлора, только с добавкой отрицательных степеней. Вычет — это коэффициент при 1/(z ? z?), то есть при самой слабой из «плохих» степеней. Для простого полюса его можно достать одним движением:

b? = lim (z ? z?)·f(z) при z ? z?.

У этого есть очень прозрачный физический смысл в электростатике. Давайте будем рассматривать мероморфную функцию как электрическое поле на плоскости, а полюса — как точечные заряды.

Тогда вычет — это величина заряда. И знаменитая теорема о вычетах говорит буквально то же, что теорема Гаусса в электростатике: интеграл по замкнутому контуру равен сумме зарядов внутри, умноженной на 2?i. Что творится снаружи — совершенно не важно.

Итого, у нас есть: положения зарядов на плоскости z?, величины зарядов b? и одно опорное значение f(0). Вопрос: хватит ли этого, чтобы восстановить поле всюду?

СОБСТВЕННО, ТЕОРЕМА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ

Если все полюса простые, а функция не растёт слишком буйно на бесконечности (формально: |f(z)/z| ? 0 при |z| ? ?), то

f(z) = f(0) + ?? b? · ( 1/(z ? z?) + 1/z? )

Каждый полюс вносит в общую сумму своё слагаемое.

А ЕСЛИ ИГЛА ТОЛЩЕ

В формулировке спрятана оговорка: все полюса простые. Что это значит и что делать, если нет?

Простой полюс означает, что функция уходит в бесконечность «со скоростью» 1/(z ? z?), не быстрее. У 1/z? полюс уже второго порядка, у 1/z? — пятого. В ряде Лорана у такой функции не одно отрицательное слагаемое, а несколько:

a??/(z ? z?) + a??/(z ? z?)? + …

Этот кусок называют главной частью — это полное описание того, как именно функция взрывается в данной точке.

Для простого полюса главная часть состоит из одного слагаемого, и вычета достаточно: одно число исчерпывает особенность. Для кратного нужен весь набор коэффициентов. Теорема от этого не ломается — просто вместо b?/(z ? z?) в сумму подставляется главная часть целиком. Идея остаётся прежней: собери описания всех катастроф, сложи их, добавь константу — получишь функцию.

А КАК ЭТО В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ

Оказывается, что в электростатике есть аналоги и толстым иглам!

Полюс порядка n — точечный мультиполь. Двойной полюс — диполь, тройной — квадруполь, порядок n — 2???-поль.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА (ДВУМЕРНАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКА)

Всё это двумерная электростатика, потенциал ~ ln r, а не 1/r. Мультиполи тут раскладываются по e^{ik?}, а не по сферическим гармоникам, и их поля падают как 1/r^{k+1}.

Двумерная электростатика используется как важная модель в самой обычной физике - для описания полей заряженных нитей в пространстве, а также для моделирования двумерной жидкости.

В двумерной электростатике аналитичен не потенциал, а поле: если w = ? + i? — комплексный потенциал, то E? ? iE_y = ?w?(z).

Голоморфность здесь буквально означает вакуумные уравнения:

div E = 0 и rot E = 0 — это и есть условия Коши–Римана.

Точечный заряд даёт w = ?(q/2???)·ln(z ? z?), то есть поле ~ 1/(z ? z?): простой полюс с вычетом, пропорциональным заряду.

Теперь диполь — два заряда ±q на малом расстоянии d (комплексное d сразу задаёт и величину, и направление):

ln(z ? z? ? d/2) ? ln(z ? z? + d/2) ? ?d/(z ? z?)

У потенциала появился простой полюс, а у поля — двойной: p/(z ? z?)?, где p = qd. Сближая диполи, получаете квадруполь с 1/(z ? z?)?, и так далее. Значит главная часть a??/(z?z?) + a??/(z?z?)? + … — это ровно мультипольное разложение особенности: a?? — заряд, a?? — дипольный момент, a?? — квадрупольный.

САМАЯ ХИТРАЯ ДЕТАЛЬ: ЗАЧЕМ ТАМ +1/z?

Дальше начинается самое тонкое место. Что это за странная добавка 1/z? в скобках? Она не зависит от z, то есть это просто константа. Зачем она вообще?

Затем, что полюсов может быть бесконечно много, и без неё всё разваливается.

Возьмём для примера функцию с полюсами во всех целых точках и вычетами, равными единице. Если наивно сложить вклады, получится ? 1/(z ? n) по всем целым n. А это, по сути, гармонический ряд: слагаемые убывают как 1/n, и сумма расходится.

Формула, которая ничего не даёт, — плохая формула.

Теперь добавим поправку. Вместо 1/(z ? n) берём 1/(z ? n) + 1/n. Приводим к общему знаменателю: получается z / (n·(z ? n)). При больших n это ведёт себя как z/n?, а ряд ? 1/n? сходится — та самая эйлеровская сумма. Ряд стал послушным, формула заработала.

Что мы, собственно, сделали? Вычли из каждого слагаемого его первый член разложения Тейлора в нуле. Микроскопическая правка, не затрагивающая сути дела около полюса, но радикально улучшающая поведение суммы вдали от него.

Приём этот выходит далеко за пределы комплексного анализа.

Так же поступают, когда суммируют расходящиеся ряды в теории чисел. Так же поступают физики, когда из бесконечных выражений квантовой теории поля вычитают контрчлены и получают конечные, проверяемые на опыте числа.

И каждый раз логика одна: не выбрасывать бесконечность, а аккуратно подобрать вычитаемое, которое не портит физику, но спасает сходимость. Теорема Миттаг-Леффлера — едва ли не самый прозрачный пример этой идеи во всей математике.

ОТКУДА 1/Z с точки зрения физика.

1/(z?n) по всем целым — цепочка одинаковых зарядов, и ряд расходится. Видно, почему: каждый далёкий заряд создаёт около нуля почти однородное поле ~1/n, и эти вклады убывают слишком медленно. Поправка ?1/n вычитает у каждого заряда ровно то поле, которое он создаёт в начале координат — то есть мы меряем поле не абсолютно, а как разность с полем в нуле.

Однородная добавка ничего не говорит об источниках, так что мы ничего не портим; остаётся градиент ~z/n?, и сумма сходится.

Ответ ?·ctg(?z), и вдали от цепочки поле выходит на постоянную величину ?i? по разные стороны — в точности как у равномерно заряженной прямой.

А ? 1/(z?n)? — цепочка диполей, и здесь никакие поправки не нужны: суммарный заряд нулевой, поле само падает как 1/n?.

Ответ ??/sin?(?z), и вдали от цепочки оно затухает экспоненциально.

То есть контрчлены Миттаг-Леффлера — это нейтрализующий фон.

В физике подобное используется в решеточных моделях.

ЗА ПРЕДЕЛАМИ ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Легко заметить, что вычет может быть комплексным числом, а электрический заряд - число действительное. Как быть?

Оказывается, что и это описывается физикой - гидродинамикой. Мнимая часть вычета - это вихрь. В гидродинамике комплексный вычет — это источник плюс вихрь: Re — расход, Im — циркуляция. Сложные полюса там тоже используются: для описания обтекания.

Аналогичное использование есть и в аэродинамике, и вообще для решения задач, возникающих в уравнениях математической физики.

ПОЯВЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ СПИНОВ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА

Легко заметить, что при повороте картинки на угол ? коэффициент a?? умножается на e^{i(n?1)?}. Получается, что заряд — скаляр, дипольный момент — вектор, квадрупольный — объект спина 2. У плоского мультиполя порядка k появляется спин, равный 2k..

Таким образом, в этой самой обычной классической физике мы получаем внезапно эффекты, которые обычно считают характерными исключительно для релятивистской квантовой механики.

КАК ЭТО ДОКАЗЫВАЮТ

Доказательство короткое и очень изящное, поэтому расскажу идею.

Мы берём не саму функцию f, а её слегка модифицированную версию: f(w) / (w·(w ? z)). Здесь z — та точка, в которой мы хотим узнать значение, а w — переменная, по которой будем интегрировать.

Заметьте фокус: мы своими руками подложили в конструкцию два дополнительных полюса, в точках w = 0 и w = z. Именно они потом вытащат наружу f(0) и f(z).

Дальше берём большую окружность радиуса R, охватывающую точку z и первые N полюсов функции, и считаем по ней контурный интеграл — двумя способами.

Способ первый, изнутри: по теореме о вычетах интеграл равен сумме вычетов всех полюсов внутри. Их три сорта: наш подложенный в нуле даёт ?f(0)/z, подложенный в точке z даёт f(z)/z, а настоящие полюса функции дают сумму по всем b?.

Способ второй, снаружи: оценим интеграл сверху. Длина окружности растёт пропорционально R. А подынтегральное выражение убывает быстрее: в знаменателе два множителя, каждый порядка R, и есть условие |f(w)/w| ? 0. Итог: при R ? ? интеграл стремится к нулю.

Приравниваем. Слева ноль, справа комбинация из f(z), f(0) и суммы по полюсам. Разрешаем относительно f(z), пользуемся тождеством

z / (z?(z? ? z)) = 1/(z ? z?) + 1/z?

и — вот она, наша формула, с поправкой на сходимость, которая появилась не по волшебству, а сама собой, из алгебры.

Мне кажется, здесь и прячется главная красота метода: мы ничего не конструировали вручную. Мы просто заставили контур раздуться до бесконечности, и он вытолкнул ответ.

ПОЛУЧЕНИЕ: ??/6 ИЗ КОТАНГЕНСА

Давайте что-нибудь вычислим, используя эту теорему

Функция ?·ctg(?z) мероморфна, её полюса — все целые точки, а вычет в каждой равен единице. Применяем формулу и после сворачивания слагаемых с n и ?n получаем:

·ctg(?z) = 1/z + ? (n = 1..?) 2z/(z? ? n?)

Теперь разложим обе части в ряд около нуля. Слева котангенс даёт 1/z ? ??z/3 ? …, справа каждое слагаемое даёт ?2z/n? ? … Сравниваем коэффициенты при z:

2·(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …) = ??/3

то есть 1 + 1/4 + 1/9 + … = ??/6.

Знаменитая базельская задача, над которой ломали головы полвека, выпадает из теоремы Миттаг-Леффлера как простое тривиальное следствие. Если пойти дальше и сравнить коэффициенты при z?, получите сумму обратных четвёртых степеней: ??/90. И так далее.

ПРОВЕРИМ НА ТАНГЕНСЕ

Возьмём функцию, которую все видели в школе. У тангенса полюса стоят в точках ?/2 + ?k, вычет в каждом равен ?1, а в нуле tg 0 = 0. Подставляем в формулу, объединяем полюса, симметричные относительно нуля, и получаем:

tg z = ? (k = 0..?) 2z / ( (?/2 + ?k)? ? z? )

Проверить можно прямо на коленке.

При маленьких z тангенс почти равен самому z. Справа при маленьких z каждое слагаемое приближённо равно 2z/(?/2 + ?k)?. Сумма обязана дать z, а это значит, что

1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + … = ??/8

то есть сумма обратных квадратов нечётных чисел. Тождество известное, но полюбуйтесь путём, которым мы к нему пришли: мы просто выписали, где ломается тангенс, и с какой силой — а сумма ряда выпала сама.

ТЕОРЕМА НА САМОМ ДЕЛЕ ЕЩЁ СИЛЬНЕЕ

Теорема Миттаг-Леффлера утверждает вещь еще более радикальную, она не ограничивается полезной формулой для вычислений.

Она утверждает: задайте любую последовательность точек, уходящую на бесконечность, и назначьте каждой точке любую главную часть, какую вздумается, — и найдётся мероморфная функция ровно с этими особенностями и никакими другими.

У этой теоремы есть родная сестра — теорема Вейерштрасса, которая делает то же самое для нулей: любой наперёд заданный набор нулей реализуется бесконечным произведением. Полюса и нули, разложение в сумму и разложение в произведение. А в XX веке из этих сюжетов выросли задачи Кузена, теория пучков и когомологии — то есть почти вся современная комплексная геометрия начинается именно здесь.

ГДЕ ЭТО РАБОТАЕТ

Инженеры-автоматчики описывают линейную систему передаточной функцией — и работают именно с её полюсами и вычетами.

Список полюсов сразу говорит, устойчива система или пойдёт вразнос, а разложение на простейшие дроби превращает страшную дробь в сумму понятных экспонент. Обратное преобразование Лапласа — по сути, применение этой же идеи.

В физике полюса означают резонансы. У матрицы рассеяния полюс — это частица или связанное состояние; вещественная часть даёт энергию, мнимая — время жизни. Функции Грина в электродинамике и квантовой механике разбираются по полюсам ровно так же.

Математики и физики часто используют эту теорему как мощную машину для суммирования рядов: подобрал функцию с нужными вычетами — и сумма посчиталась.

ЧЕМ ИЗВЕСТЕН ЧЕЛОВЕК, КОТОРЫЙ ПРИДУМАЛ ЭТУ ТЕОРЕМУ

Гёста Миттаг-Леффлер (1846–1927) — швед, ученик Вейерштрасса. Он основал журнал Acta Mathematica, один из главных в мире. Он же добился, чтобы кафедру там получила Софья Ковалевская — первая в Европе женщина-профессор математики. По завещанию он оставил дом и библиотеку под математический институт, который работает под Стокгольмом до сих пор.

Говорят, что Нобелевской премии по математике нет, потому что Нобель не поделил с Миттаг-Леффлером женщину. Красивая легенда и полностью выдуманная: Нобель никогда не был женат, а никаких свидетельств этой вражды не существует.

#комплексный анализ

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: