Что такое комплексные числа?

Очередная выдумка математиков или по-настоящему мощный инструмент для упрощения вычислений? Или они — основа нашего мира?

Прежде чем ответить на эти вопросы, давайте разберёмся, что они из себя представляют. С математической точки зрения, это упорядоченная пара чисел, которая подчиняется определённым правилам. В общем смысле это такие же числа, с которыми мы работали всю жизнь, но добавляется ещё одно число: i, для которого справедливо: i * i = -1. Многие ошибочно считают, что i = sqr(-1), но это неверно. Если бы это было так, то i * i = sqr(-1 )* sqr(-1) = sqr(-1 * -1) = sqr(1) = 1, а не -1.

Теперь рассмотрим историю их возникновения. Всё началось в начале XVI века, когда Сципион дель Ферро первым научился решать приведённые кубические уравнения: x^3 + ax = b. Но своё открытие он решил оставить в тайне из-за «математических дуэлей»: дуэлянты обменивались набором задач, и тот, кто решал наибольшее количество задач, считался победителем. Проигравший же в такой дуэли терял репутацию и зачастую университетскую позицию. В 1526 году, умирая, дель Ферро передал секрет своему ученику Антонио Фиоре, который решил воспользоваться чужим открытием для математического дуэла. Он вызвал на публичный дуэль Николо Тарталию. Во время подготовки к дуэли Тарталия самостоятельно вывел формулу решения таких уравнений (формула Кардано-Тарталия). Джероламо Кардано опубликовал эту формулу в 1545 году в книге «Ars Magna». При анализе формулы выяснилось, что в ней может потребоваться извлечение квадратного корня из отрицательного числа — это подтолкнуло математиков к признанию комплексных чисел. Арифметика комплексных чисел впервые раскрыта в работах Рафаэля Бомбелли и Альбера Жирара. В XVII-XVIII началось активное изучение комплексных чисел. Рене Декарт ввёл термин «воображаемые числа», а Леонард Эйлер ввёл современное обозначение комплексных чисел (через i), исследовал их использование в математическом анализе и заложил основы теории функций комплексного переменного. Сам же термин «комплексные числа» ввёл Карл Фридрих Гаусс в XIX веке.

Но чем же комплексные числа отличились? В теории функций комплексной переменной (ТФКП) есть понятие аналитичной функции, которая обладает замечательным свойством: если она дифференцируема в некоторой области, то она бесконечно дифференцируема в этой области. Также, благодаря тому, что любое комплексное число можно представить в виде вектора, их постоянно используют в геометрии. Есть понятия конформного отображения — это способ «перекроить» одну плоскую фигуру в другую так, чтобы углы нигде не искажались. Т.е. если две линии пересекаются под углом 45гр, то после конформного отображения они всё равно пересекутся под теми же 45гр. При этом длины и площади могут меняться — зато локальная «форма» сохраняется.

Почему комплексные числа оказались такими важными, ведь кажется, что в «реальном мире» их не существует?

Мнимая единица встречается, например, в квантовой механике. Волновая функция — это комплекснозначная функция. Уравнение Шрёдингера, закон «движения» в квантовой механике, содержит мнимую единицу i, и именно комплексные числа позволяют корректно описывать интерференцию, вероятности и эволюцию состояний. Без них нельзя построить адекватную математическую модель микромира.

Другой важный пример: Быстрое преобразование Фурье (FFT) — основа цифровой обработки сигналов. FFT раскладывает сигнал на гармоники, каждая из которых имеет амплитуду и фазу — идеально описывается комплексной экспонентой.

В двумерной гидродинамике и аэродинамике используют аналитические функции: они описывают течение и позволяют решать задачи обтекания профилей крыльев и других тел. Конформные отображения помогают «перевести» сложную геометрию в простую, решить задачу там и вернуть ответ обратно.

Комплексные числа часто кажутся чем-то нереальным — чистой абстракцией, полезной только для фундаментальной науки. Однако они широко используются в современной науке и технике: от расчётов в электротехнике до моделирования квантовых процессов и обработки сигналов.

Это яркий пример того, как развитие абстрактной математики приводит к созданию чего-то нового, что впоследствии становится неотъемлемой частью любой науки.

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: