Групповой анализ дифференциальных уравнений как спецкурс может предлагаться студентам мехмата курсе на пятом

Групповой анализ дифференциальных уравнений как спецкурс может предлагаться студентам мехмата курсе на пятом. Однако, если захотеть, его начала может освоить и школьник, который умеет строить графики и знает, что такое производная. И хотя бы с одним простейшим дифференциальным уравнением (ДУ) знаком.

Этот пост — введение, можно сказать, издалека.

Симметрии фигур и их уравнений

Из школьной геометрии (ещё на плоскости) нам хорошо знакомы

- параллельные переносы (на заданный вектор),

- повороты (относительно заданной точки),

- отражения (относительно заданной прямой).

Если какая-то фигура остаётся собой при применении к ней такого движения, то говорят, что она имеет симметрию.

Но ведь некоторые фигуры можно задать уравнением. Например, окружность: x?+y?=R?.

Значит, данное уравнение допускает широкую группу симметрий: повороты (их континуум, они называются непрерывными симметриями, так как угол поворота можно менять непрерывно) и отражения относительно любого диаметра (дискретные симметрии: непрерывности нет, ведь это скачки туда и обратно — изменения ориентации плоскости... Однако их тоже континуум).

Симметрии дифференциальных уравнений

Если в уравнении с переменными (x,y) появилась производная y'=dy/dx — можем рассматривать её как третью переменную z — и построить график уравнения в трёхмерном пространстве (x,y,z). Может так случиться, что построенное множество точек (поверхность) тоже имеет симметрии. Если это плоскость — симметриями будут её параллельные переносы и повороты (непрерывные), а также отражения (дискретные).

Симметрия ДУ — это замена переменных в уравнении, не меняющая его запись (вид), а значит и его решения.

А если взять дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП)?

То же самое: каждая производная (причём не только первого, но и произвольного порядка) может рассматриваться как ещё одна переменная. А значит, ДУЧП задаёт некоторое множество точек в N-мерном пространстве. И это множество (гиперповерхность) тоже иметь симметрии...

Какая от этого всего польза? Весьма большая!

Знание симметрии даёт возможность строить новые семейства решений ДУ, имея одно частное решение. Известный справочник Полянина-Зайцева по точным решениям ДУЧП на этом построен.

Групповой анализ

Связанная с этим богатейшая (и до сих пор бурно развивающаяся) дисциплина — групповой анализ — возникла на стыке трёх известных дисциплин: дифференциальных уравнений, алгебры и дифференциальной геометрии.

Эта дисциплина оказалась полезной не только для нахождения точных решений ДУ и понижения порядка ДУЧП, но и для эффективного отбора из всевозможных ДУ (и их систем) наиболее "физических".

Как происходит понижение порядка? Если найти базис инвариантов ДУЧП, то можно понизить его порядок, перейдя к инвариантам как к новым переменным. Задача, по сути, алгоритмическая. Написаны программы (например, DeSolve — ещё со времён MS DOS)...

Второе (критерий "физичности") интуитивно понятно: чем богаче симметриями математическая модель — тем вероятнее, что существует физический процесс, который она описывает. И это не только механические движения, сюда же и суперсимметрии, которые связывают бозонное и фермионное квантовые поля...

Развитие группового анализа

Изучение теоретико-групповых свойств ДУ связано с именем норвежского математика Софуса Ли (1842–1899): он создал теорию групп непрерывных преобразований (аналог теории Галуа

применительно к ДУ). В нашей стране её развивал академик Лев Васильевич Овсянников (1919—2014). Он ввёл термин "групповой анализ", создал крупнейшую в мире научную школу в этой области; вместе со своим учеником Н.Х. Ибрагимовым (1939—2018) организовал международную конференцию Modern Group Analysis (MOGRAN) — первая прошла в Калгари, Канада (1974), вторая в Новосибирске (1978)... 17-я в Кадисе, Испания (2014), 18-я в Шеньяне, Китай (2015).

Существуют и другие международные конференции по групповому анализу (International Conference on Group Analysis — ICGA; Group Analysis of Differential Equations and Integrable Systems — GADEIS; Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics — SNMP). Издаются международные журналы (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications — SIGMA; Symmetry) и все они не обходятся без выходцев из советской школы.

Литература:

1. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. — М.: Знание, 1989. — 48 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; №8).

2. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. — 639 с.

3. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. — Киев: Наукова думка, 1989.

4. Лагно В.И., Спичак С.В., Стогний В.И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа. — Москва--Ижевск: ИКИ, 2004. — 392 с.

5. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Знание, 1991. — 48 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; №8).

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: