Броуновское движение

Применение математики как инструмента описания мира состоит в построении математических моделей. Простой пример – описание полёта тела диффуром второго порядка, полученным из второго закона Ньютона.

Важно понимать, что модели дают лишь приблизительное описание, и чем оно точнее – тем сложнее модель. Если учесть только силу тяжести, диффур будет очень лёгкий. Добавим сопротивление воздуха – станет чуть сложнее. Если учитывать слишком много факторов, маленький выигрыш в точности перестанет оправдывать сложность модели.

Потому при рассмотрении Броуновского движения бессмысленно пытаться описать взаимодействие всех частиц друг с другом по законам механики – с такими вычислениями ни один компьютер не справится. Частички сталкиваются настолько беспорядочно, что даже трудно предугадать, в каком направлении в следующий момент каждая из них полетит. Значит, тут нужен другой подход в построении модели. Эйнштейн(1905) и Смолуховский(1906) в рамках молекулярно-кинетической теории усреднили по всем частицам квадрат перемещения и выяснили, что он пропорционален времени движения.

А Норберт Винер в 1923г. подошёл к вопросу наблюдения за отдельной частицей со стороны теории вероятностей и построил один из важнейших объектов теории случайных процессов.

• Случайный процесс – семейство случайных величин на общем вероятностном пространстве, заиндексованных некоторым множеством. В нашем случае множеством индексов будет полуось времени T = [0,?). Каждому моменту времени t соответствует случайная величина W?, выражающая положение частички в этот момент (мы будем следить только за перемещениями вправо и влево, для других двух координат дело обстоит точно так же). Также это можно воспринимать как случайную функцию на множестве T.

Вот какие условия поставил Винер, чтобы эта случайная функция была похожа на Броуновское движение:

- Для удобства считаем, что в начальный момент времени частица находится в начале координат: W? ? 0.

- Перемещение частицы в течение какого-то промежутка времени не зависит от её перемещений в предыдущие промежутки: случайные величины W?? - W?? и W?? - W?? независимы, если t1

- Временны?е промежутки одинаковой длительности ничем не отличаются друг от друга, перемещения на них имеют одинаковые законы распределения: W?? - W?? =? W?? - W??, если s1 - t1 = s2 - t2.

- Распределение приращений симметрично относительно 0. Сдвиг влево так же вероятен, как сдвиг вправо, что даёт нулевое математическое ожидание: E(W? - W?) = 0. (В частности, E(W? - W?) = EW? ? 0)

Как можно заметить, здесь не достаёт одного важного требования, вытекающего из физических соображений: хотелось бы, чтобы частица при движении не совершала скачков в пространстве. Потому случайная функция должна быть непрерывной. Но Винер напрямую этого не заявлял в исходных свойствах, а уже после построения процесса привёл доказательство (причём довольно сложное) существования у него непрерывной версии.

Тем не менее, непрерывность задействовалась неявно в переходе от перечисленных условий к тому, что этот процесс - гауссовский.

После этого дело значительно упрощается, ведь для полного определения гауссовской величины достаточно её матожидания и дисперсии. Одно из современных определений Броуновского движения задействует как раз дисперсию приращений и выглядит так:

• Гауссовский процесс (W?, t ?0), для которого W? ? 0, EW? = 0 и E(W? - W?)? = |t-s|, называется процессом Винера, или Броуновским движением.

Более классический способ определения гауссовского процесса – предъявить его матожидания EW? и ковариационную функцию K(s,t) = Cov(W?,W?):

• Гауссовский процесс (W?, t ?0), для которого EW? = 0 и K(s,t) = min{s,t}, называется процессом Винера, или Броуновским движением.

Упомянем важные его свойства:

- Функция Винера с вероятностью 1 нигде не дифференцируема.

Конечно, это не означает, что траектории частиц в реальности не имеют гладких участков. Как мы сказали в начале, это лишь модель, которая описывает реальность со своей степенью достоверности.

Броуновское движение стало важным показателем актуальности изучения нигде не дифференцируемых функций. Ведь когда Вейерштрасс опубликовал первый такой пример, все голосили, что эта химера ужасна, бессмысленна и вообще в жизни такого не бывает и таким не нужно заниматься.

Из этого свойства сразу следует другое:

- Неограниченность вариации на любом конечном отрезке. Ещё один способ выразить, что функция постоянно «дёргается».

- Самоподобие, или автомодельность. Масштабированный по времени процесс W?? по распределению совпадает с вытянутым исходным процессом ?a?W? .

- Инвертированный по времени процесс tW_1/t также является Винеровским.

Источники:

Norbert Wiener, Differential-Space.

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: vk.com

Комментарии: