Уравнения Навье-Стокса: Уравнения, которые приносят миллион долларов

Если вы когда-нибудь смотрели на текущую воду в реке, дым от костра или завихрения воздуха за крылом самолета, вы смотрели на решение самой знаменитой загадки современной математики и физики.

Речь идет об уравнениях Навье-Стокса. Этой системе уравнений уже почти 200 лет, мы используем их каждый день в инженерии, но математики до сих пор не могут доказать, что они работают так, как мы думаем.

Что описывают эти уравнения?

Представьте, что жидкость (вода, воздух, масло) — это не множество отдельных молекул, а сплошная среда. Уравнения Навье-Стокса — это просто строгий способ сказать: «Импульс не возникает из ниоткуда и не исчезает в никуда».

В упрощенном виде они выглядят так:

* (du/dt + u * ?u) = -?p + ? * ??u + F

Выглядит страшно, но расшифровывается гениально просто (Второй закон Ньютона для жидкости):

1. Левая часть (? * (?u/?t + u·?u)) — это инерция. Как частица жидкости ускоряется, когда на нее давят соседи.

2. Правая часть (-?p) — это сила давления. Жидкость течет туда, где давления меньше.

3. Правая часть (???u) — это вязкость (трение). Мёд течет медленно, вода быстро. Именно этот член сглаживает потоки и не дает возникать разрывам.

4. Правая часть (f) — это внешние силы. Обычно гравитация.

Задача тысячелетия

Почему же за доказательство свойств этих уравнений дают 1 миллион долларов (премия Института Клэя)?

Потому что у математиков есть огромная проблема: существование и гладкость решений.

Когда мы моделируем полет ракеты или течение нефти в трубе, мы решаем эти уравнения на компьютере (численно). Мы верим, что решение существует и оно будет плавным.

Но строго доказано это только для двумерного пространства. В реальном трехмерном мире никто не знает ответов на фундаментальные вопросы:

Существует ли решение всегда? Или в какой-то момент уравнение "взорвется" и покажет бесконечную скорость в какой-то точке (сингулярность)?

Будет ли решение гладким? Или турбулентность настолько сложна, что в математической модели возникают разрывы и изломы?

Однако, почему это так сложно?

Главный виновник — нелинейность. Член (u · ?)u означает, что жидкость взаимодействует сама с собой. Скорость влияет на саму себя. Это создает хаос (турбулентность).

Мы умеем отлично решать линейные уравнения (типа теплопроводности). Но уравнение Навье-Стокса — это уравнение с "характером". Оно описывает всё: от ламинарного течения до урагана.

Значение

Если кто-то докажет, что гладкое решение существует всегда — мы получим фундамент, на котором уверенно стоит вся гидро- и аэродинамика.

Если кто-то найдет контрпример — точку, где решение "взрывается" — это перевернет физику. Возможно, это укажет на границы применимости модели сплошной среды и потребует принципиально нового взгляда на турбулентность.

Так что в следующий раз, наливая чай или наблюдая за облаками, знайте: вы смотрите на одну из величайших загадок математики.

Источник: vk.com

Комментарии: