Человеку привычнее ограничивать свою деятельность понятными рамками; изучив урок, часто есть чёткая разница между «урок не усвоен» и «урок усвоен»

Человеку привычнее ограничивать свою деятельность понятными рамками; изучив урок, часто есть чёткая разница между «урок не усвоен» и «урок усвоен». Соблюдая привычный большинству ход мысли, разумно поставить вопрос: конечно ли количество уроков всей математики? Есть ли такая точка, после которой человек может с уверенностью сказать «я знаю математику»? Наивный, казалось бы, вопрос на самом деле уходит глубоко в самую суть математики как живой, расширяющейся вселенной.

Мечта о полном знании, об уме, способном охватить все знания от Фалеса и Евклида до Перельмана и Тао будоражит умы довольно давно. Легенды об учёных прошлого вроде Леонарда Эйлера или Давида Гильберта, чьи труды покрывали огромное количество разделов от теории чисел до небесной механики, возводят образ математика-титана, способного объять необъятное, на плечах которого смогут стоять будущие поколения учёных. Возможно ли это сегодня?

Попробуйте уподобить математику стремительно разрастающемуся мегаполису, где старые округи — арифметика и геометрия, например, — соседствуют с небоскрёбами — общей алгеброй, топологией, теорией гомотопий, а карта такого города непрерывно обновляется. Этот процесс протекает настолько бурно, что примерно каждые 10-15 лет объём математического знания удваивается. Ежегодно в рецензируемых журналах публикуются сотни тысяч новых страниц, на которых — десятки тысяч новых теорем. Даже просто прочесть всё, что публикуется за год хоть по одной узкой специальности (рассмотрите, к примеру, числа Фибоначчи) — уже тяжёлая задача для одного человека. Притом кроме самого прочтения нужно ещё всё понять, обдумать и связать с тем, что уже известно.

Современный математик больше подобен леснику, знающему свой лес, чем прошедшему кругосветку путешественнику, знающему весь земной шар. Подумайте: чтобы достичь прорыва, скажем, в теории Морса или в алгебраической топологии, требуются годы погружения в одну область. Переключиться после этого в теорию вероятностей — всё равно что выучить с нуля новый язык со всеми культурными особенностями говорящих на нём.

Эпоха, когда один человек, подобно Давиду Гильберту, мог со знанием дела выдвигать проблемы, определяющие вектор развития математики в целом, переживает свой закат. Дело в том, что даже список ключевых нерешённых проблем современной математики разбит по десяткам независимых областей, и эксперт в одной области может лишь смутно понимать формулировку проблем в другой. Так что на практическом уровне ответ на вопрос в начале статьи очевиден: изучить всю математику в смысле «овладеть всем массивом математических знаний» в наше время почти нереально. Она расширяется быстрее когнитивных возможностей человека.

Это порождает другую проблему: если современная математика фактически необъятна, тогда в чём же тогда мастерство математика? Как его определить и чем измерить? Здесь всё яснее, чем кажется. В ходе развития математики кристаллизовался центральный корпус идей, без которых движение вперёд где-либо невозможно: сюда относятся теория множеств, теория чисел, математический анализ и некоторые другие разделы. Здесь грамматика и базовый словарь математики. Освоив эти дисциплины, всех слов, может, и не узнать, зато станет возможно читать тексты, написанные на математическом языке. Если человек может в приемлемые сроки разобраться в практически любом новом разделе, опираясь на связи с уже известным математическим ядром, значит можно считать, что он «изучил математику».

Главное умение математика нашего времени — способность быстро распознавать структуру, видеть за конкретными объектами, будь то числа, функции или формы в пространстве, закономерности. Другими словами, уметь переносить аналогии из одной области в другую. Великий математик как Пал Эрдёш или Александр Гротендик мог создать целые новые миры, работая на уровне общих принципов, а не частных примеров.

Сейчас как никогда понятно, что математика — это путь без предопределённой цели. Вам никто не скажет ни что делать, ни для чего делать. Вы самостоятельно выбираете область для исследования (хоть дифференциальную геометрию, хоть элементарную математику, что угодно), углубляетесь в неё, делаете свои заметки, совершаете свои открытия. Притом вы понимаете, что существуют и другие великие континенты — теория чисел или матлогика, например, — понимаете в общих чертах, как они устроены и как туда добраться, но вас никто не обязывает это делать.

Каждый крупный математический прорыв усложняет математику. Доказательство теоремы геометризации Тёрстона, например, шире распахнуло двери в изучение многообразий. Каждый закрытый вопрос порождает десяток новых. Потому воспринимайте математику как бесконечный сериал, постоянно дополняющийся новыми и новыми сериями, часто дающими уже изложенным событиям новую, порой совершенно неожиданную трактовку.

Да, «всю» математику в прямом смысле слова изучить нельзя. Но можно — и в этом заключается её величайшая красота и притяжение — навсегда влюбиться в процесс её изучения, став вечным учеником этой неисчерпаемой, строгой и самой прекрасной из наук.

Источник: vk.com

Комментарии: