Сколько раз вам попадалась задача, которая уже настолько копана-перекопана, что смысла что-то доказывать с абсолютной строгостью нет?

Сколько раз вам попадалась задача, которая уже настолько копана-перекопана, что смысла что-то доказывать с абсолютной строгостью нет? С такими образчиками математической мысли сталкиваются и студентам, но и профессиональные математики, стоящие перед многовековыми гипотезами, проверенными компьютерами для невообразимого количества случаев. Возникает соблазнительный и, казалось бы, разумный вопрос: а не будет ли такое упрямство избыточной тратой интеллектуальных ресурсов? Не пора ли поставить точку и двигаться дальше?

Примеров таких задач, где абсолютная строгость уже походит на каприз логики, чем на практическую необходимость, великое множество. Проблема здесь в том, что именно эти «перекопанные» задачи часто становятся священным граалем для целых поколений учёных. Их внешняя простота и кажущаяся доступность — лишь фасад, за которым скрывается бездна непонимания всех принципов, лежащих в основе чисел.

Взгляните, скажем, на гипотезу Римана. Она считается задачей тысячелетия, важной нерешённой проблемой, однако она уже подтверждена для такого огромного диапазона чисел, что, казалось бы, зачем искать что-то лучше, если для всех мыслимых чисел, с которыми человек в среднем работает в жизни, эта гипотеза уже проверена? Проверена-то проверена, однако проверка, даже на триллионах триллионов случаев, — это всё ещё не доказательство.

Притом очень часто именно там, где пройденный путь, эмпирика, кажется идеально гладкой, может таиться неожиданный изъян. Пафнутий Чебышёв, математик XIX века, исследуя распределение простых чисел, наблюдал закономерность, которая всегда выполнялась для всех доступных тогда вычислений. Он был почти уверен в её истинности. Позже было доказано, что эта закономерность нарушается, но происходит это невообразимо далеко от единицы — при числах порядка 10^300. Гипотеза Римана — следующий, куда более глубокий уровень понимания. Её доказательство, скорее всего, откроет причину гармонии и порядка в хаосе простых чисел. Это всё равно что найти ключ к двери, скрывающей ответы на вопросы, которые мы, может, и задавать-то ещё не думали.

Или, скажем, бинарная гипотеза Гольдбаха. Известны разложения на сумму двух простых чисел такого количества чётных чисел, что практический смысл строгого доказательства попросту отпадает: числа больше тех, для которых гипотеза проверена и подтверждена, также редко используются на практике. Но это классическая подмена понятий. В текущем виде доказательство похоже на составление бесконечного каталога фактов («число 10^50 раскладывается так-то»), а цель математики — установление универсальных законов. Разница между проверкой и доказательством — как между тысячей успешных операций, проведённых талантливым хирургом, и полным пониманием биохимии, анатомии и физиологии, позволяющим лечить причину болезни, а не её проявления. Да, для любого конкретного сколь угодно астрономического числа мы, скорее всего, сможем найти разложение за приемлемое время. Но это не даст понимания того, почему это всегда возможно. А без этого «почему», особенно в мире теории чисел, далеко не уедешь.

Скольким людям, как вы думаете, было бы по-настоящему, с практической точки зрения, интересно, раскладывается ли число Грэма на сумму двух простых чисел? Почему бы, даже если это понадобится, не провести проверку этого конкретного числа? Это ведь осуществимо при помощи специальных алгоритмов. Число Грэма — поразительная, для многих запредельная величина. Но разве математику стоит посвящать проверке единичных гигантских чисел? Она ведь — поиск абсолютной, окончательной и безоговорочной истины. Если гипотеза Гольдбаха верна, то она верна для числа Грэма, умноженного на два, для его факториала, для какой угодно его степени. Проверка одного числа, даже самого огромного, ничего не доказывает и никого ни в чём не убеждает. Она лишь добавляет ещё одну песчинку в бесконечную пустыню эмпирических подтверждений. Математика же не ставит своей целью сбор песка. Она составляет полную карту пустыни с её точными законами.

Вспомните также сиракузскую последовательность (гипотезу Коллатца). Подтверждена для чисел до нескольких секстиллионов (огромная величина!), чего для практических нужд должно быть также достаточно. Для спокойствия инженерной совести — возможно. Для математического разума — категорически нет. Гипотеза Коллатца формулируется так просто, что доступна любому школьнику, при этом успешно сопротивляется всем известным методам современной математики. В этом — признак глубины. Не исключено, что для её доказательства потребуется создать новую, неизвестную нам ветвь математики, которая сможет описать подобные итерационные процессы. Компьютерная проверка до секстиллионов — это лишь указание на то, что потенциальный контрпример (если он есть) должен обладать какой-то совершенно чудовищной, противоестественной арифметической структурой. Вместо охоты за этим призрачным «контрпримером» лучше предпринять попытку понять саму природу траекторий, порождаемых таким простым правилом.

На практике приблизительного ответа зачастую вполне достаточно. Но в математике — что иронично, не всегда, а тоже зачастую — нет. Так уж она устроена. Такой уж она существует. Вся мощь математики, вся её применимость в физике, криптографии, теории информации проистекает из её абсолютной надёжности в рамках формальной системе. Если однажды позволить себе сказать «достаточно подтверждена, считаем доказанной» в отношении фундаментальной гипотезы, будет подорвана сама основа этой надёжности. Математика превратится из царства аподиктической истины в область высокой статистической вероятности.

Физика может мириться с приблизительностью, биология — с исключениями из правил. Математика — нет. Её законы должны быть сформулированы и доказаны так, чтобы выполняться всегда, везде и без исключений. Строгое доказательство — это ритуал очищения чистоты знания от скверны сомнения, переход от веры, основанной на опыте («проверили — работает»), к знанию, основанному на понимании («достоверно определено, почему не может быть иначе»).

Поэтому математик, упорствующий в поисках доказательства для «очевидной» гипотезы, похож на альпиниста, стремящегося на Эверест — потому, что только на его вершине открывается вид на следующий хребет, который не был виден до этого. Математик копает не для того, чтобы найти очередной подтверждающий артефакт, а чтобы добраться до материковой породы, до фундамента, на котором держится всё здание. И в этом упрямом, непрактичном, «капризном» стремлении к абсолютной строгости — величайшая практическая ценность и вечная красота математики.

Источник: vk.com

Комментарии: