Мы живём в век развития технологий

Мы живём в век развития технологий. Современные математики имеют возможность получить доступ к мощным рабочим станциям с системами компьютерной алгебры, к базам данных статей и препринтов, к инструментам для проверки доказательств. Зачем тогда ставить рядом с этими вычислительными, в высшей степени формальными исполинами пачку тетрадей, мелко испещрённых рукописными выкладками, стрелочками и зачёркиваниями? Зачем учёным, имеющим возможность моделировать практически что душа пожелает на мощном оборудовании, по старинке выводить формулы ручкой в блокноте? Не пережиток ли прошлого, как думаете? Есть ли вообще место рукописям в эпоху компьютеризации и искусственного интеллекта? Давайте порассуждаем.

Вычислительная техника — инструмент с мощным потенциалом, здесь спорить не с чем. Ей удалось трансформировать мир настолько, что подлинного масштаба этих изменений человечество, вероятно, до сих пор не осознаёт до конца. На компьютере за несколько секунд можно проверить миллионы случаев, даже если речь об операционном исчислении, над которыми человек даже при сноровке может потратить годы своего времени, притом компьютер (речь именно о детерминированном алгоритме, а не о нейросети!) проведёт проверку безошибочно — можно не беспокоиться о том, что при верном алгоритме где-то в расчётах закрадётся ошибка.

Современные пакеты помогают в визуализации многомерных объектов (методом понижения размерности пространства, например), аттракторов в динамических системах, топологических многообразий. Многое из того, что раньше записывалось разве что общей формулой, теперь можно покрутить, провести сечение, сделать анимацию. Это расширяет подход к формированию гипотез — ведь перед исследователем предстаёт более «осязаемая» математика.

Вообще говоря, именно благодаря компьютеру математика стала более эмпирической. Подумайте — можно генерировать колоссальные по своему масштабу массивы данных, например последовательности чисел и свойства графов, искать в них статистические закономерности, затем пытаться объяснить их строго. Это открывает много возможностей для проб и ошибок.

Что до рукописей, то… в самом-то деле, зачем кому-то чертить график от руки, если какой-нибудь Matplotlib или Desmos сделает это быстро и безупречно? Зачем что-то вручную раскладывать в ряды или выполнять преобразование Фурье, если та же задача под силу какому-нибудь WolframAlpha? Так-то оно так, да вот как бы не так!

Бумажный лист и ручка, или более современные их собратья — графический планшет со стилусом, — это рабочая среда; настоящее месторождение идей. На компьютере же эти идеи просто обрабатываются и шлифуются, но никак уж не придумываются. Вывод: не будет черновых записей — нечего будет анализировать, вычислять и проверять. Процесс письма медлителен, но устанавливает прямую нейрофизиологическую связь между предметом исследования и техническими выкладками о нём.

Примечательно и то, что на листе можно действовать более свободно, чем на компьютере. Взгляд охватывает все части изложения, одновременно видя их начало, середину и претензию на итог. Хочется нарисовать стрелку от третьего абзаца к полю у первого? Пожалуйста! Хочется разукрасить важную формулу? Раз плюнуть! Это представление информации удобнее для добычи новых фактов. Текстовые редакторы и командные строки даже близко с этим не стоят, особенно для тех, кто привык к визуальной подаче информации и более гибкой работе с ней.

Слышали когда-нибудь про «состояние потока», когда человек погружён вниманием и мышлением в определённый процесс? Выкладывать мысли проще ручкой на бумагу, чем печатью в документ. Дело в том, что механическое движение ручкой по бумаге по своей скорости соизмеримо со скоростью формирования мысли. Рука, водящая ручку, создаёт стенографию мысли из мозга на бумагу. В «состоянии потока» такая непрерывность критически важна, чтобы мысль не исказилась или не улетучилась в процессе подбора хорошо смотрящегося шрифта или разметки.

Да и придание нематериальной идее материального следа на бумаге само по себе уже конкретизирует её. Хватает именитых математиков, говорящих о так называемой «мышечной памяти»: они помнят, где в их записях и какая формула располагается и как особо отмечена (если таковые отметки действительно были сделаны). Эта пространственная привязка помогает быстро вытащить из памяти контекст размышлений вокруг формулы помимо неё самой. С цифровыми файлами такой номер не пройдёт.

Давайте посмотрим ещё пример. Автоматическое вычисление интеграла лишает студента понимания промежуточных действий. Как итог, неоткуда взяться пониманию, откуда он берётся, да и вообще, взят ли он правильно. Рукописное решение заставляет прочувствовать и понять каждое преобразование, каждое сокращение. Да, это может не всегда быть приятно, чаще — нудно и утомительно, но превосходно тренирует математическую интуицию. Если вы никогда не решали задачу вручную, вы не сможете оценить автоматическое решение по достоинству и, что важнее, не будете иметь возможности его проверить.

Так что, на мой взгляд, сегодня есть место как ручке с бумагой, так и компьютерным вычислениям. Одно другое не заменит, зато при грамотном их сочетании можно кратно повысить результативность и точность своего математического труда.

Попробуйте провести любое следующее математическое исследование так: сначала наброски на бумаге, грубые идеи, гипотезы, попытки построить рассуждение или, если уместно, контрпример. Затем воспользуйтесь компьютером, написав алгоритм для проверки своих суждений, ранее сделанных на бумаге. То, что получено на компьютере, снова занесите на бумагу. Вам станут доступны новые выводы, которые опять можно быстро проверить на компьютере. И так до тех пор, пока цель исследования не будет достигнута.

В такой связке компьютер выступает аналитическим продолжением логической части человеческого интеллекта. Придерживайтесь принципа: «я направляю, компьютер вычисляет», но не делегируйте ему работу целиком. Доказательство — для человека, проверка — для машины.

А технологии в образовании как же? Отказывать студенту в освоении компьютерных инструментов — обрекать его на архаику. Лишать его опыта рукописного решения задач — лишать его фундамента, и внутреннего чутья. Идеальная подготовка учит использовать компьютер для того, что он делает блестяще — счёта, симуляции, перебора — а ум тренирует через рукописную работу в том, что доступно только человеку — постановка задачи, видение структуры, творческий прорыв.

Уверяю вас, в кабинете математика будущего по-прежнему будет лежать пачка бумаги — да, рядом хоть с суперкомпьютером. Истина ведь рождается не в процессоре и не на кончике пера, а в диалоге между медленной, вдумчивой человеческой мыслью и безграничной мощью созданного им инструмента.

Источник: vk.com

Комментарии: