Зачем доказывать по 40 раз одно и то же?

Урок математики в обычной школе. Ученик терпеливо выводит мелом на доске символ за символом, переход за переходом, внимательно делает проверку и, убеждаясь, что всё в порядке, записывает знакомое «чтд» или изображает закрашенный квадратик. Облегчённо выдохнув, он произносит заветные слова: «ну вот и всё».

Встав из-за преподавательского стола, учитель внимательно осматривает доску. В классе на некоторое время воцаряется тишина. Ученик, затаив дыхание, ожидает окончательного вердикта. Наконец, учитель одобрительно кивает. Затем ученик, уже предвкушающий отметку «отлично» в своём дневнике, слышит: «Теперь докажи это другим способом».

Ученика, оторопевшего от неожиданной задачи, мгновенно охватывает недоумённое возмущение. «Так я же уже всё доказал!» — говорит он. «Зачем опять?!»

Понятное дело, ученик совсем не ожидает такого вопроса — и, что гораздо болезненнее, воспринимает его так, будто вся работа, проведённая им над прошлым доказательством, ничего не стоит. Учитель, конечно, имел в виду совсем не это: своим вопросом он ставит цель проверить, насколько широко ученик может посмотреть на задачу.

К сожалению, чаще всего это не объясняется прямо и списывается на то, что ученик что-то недоучил или недопонял. Как следствие, ученик несёт полученное возмущение во взрослую жизнь, где оно же в разных проявлениях пробирается и в другие сферы. Надо ли говорить, что, воспитывая уже собственных детей, он же может проявить это возмущение прямо? «Сорок раз одно и то же, да сколько можно?!» — возмущения, раздражения, наказания и утомительная нервотрёпка, которой можно было бы избежать, извлеки этот ученик верный урок из той ситуации у доски.

Давайте разберёмся, что это за урок.

Сперва пойдём «от обратного»: что если не доказывать утверждение вообще? Тогда оно навсегда останется только предположением: нечем ведь подтвердить его истинность или ложность. Значит, предъявить хотя бы одно доказательство утверждения нужно — хотя бы чтобы быть уверенным в его истинности.

Что если доказывать утверждение только одним способом? Этого будет достаточно, чтобы решить задачу или выдержать экзаменационное испытание. Но такой подход редко даёт полноту взгляда на утверждение. Так уж устроена математика: важно не только добраться до цели, но и по какому пути.

Чем больше известно путей к цели, тем более свободно смотришь на связанную с ней задачу. Где-то открывается геометрическая интерпретация, где-то — алгебраическая структура, ещё где-то на первое место выходит наглядность, а ещё где-то — практическое применение. Как видно, доказательство — это не только результат, но и путь.

Удивительно, но доказывать что-то несколько раз даже одним и тем же способом тоже полезно. Многократность доказательства укрепляет уверенность: вспомните, сколько раз приходилось показывать, например, что 2 + 2 = 4. Всякий раз, решая какой-нибудь пример из арифметики, вы не просто складывали числа: вы доказывали, откуда берётся такой результат. И всегда одним и тем же способом. Правда, обычно к вопросу «зачем решать столько примеров?» почему-то возникает меньше претензий, чем к равносильному ему вопросу «зачем доказывать одно и то же?».

Математика знает теоремы, доказанные множеством способов. Здесь, я уверен, многие вспомнят теорему Пифагора, доказанную более чем ста различными способами. Эти доказательства помогали понять, почему эти «пифагоровы штаны» так важны в математике, и почему без них обойтись сложно. Как следствие, эту теорему наверняка помнят даже те, кто напрочь забыл остальную школьную математику.

Больше того, разные доказательства — это независимые подтверждения одной и той же истины. Они позволяют лучше понять утверждение и выяснить, при каких условиях оно останется истинным. И чем ближе доказательство к основополагающим утверждениям — аксиомам — тем убедительнее будет демонстрация. По этой причине доказательства, которые наиболее близки к аксиомам, называют элементарными.

Притом элементарные доказательства, вопреки ожиданиям, далеко не всегда самые понятные. И тут есть известный пример: элементарное доказательство того, что 1 + 1 = 2, приведённое в Principia Mathematica у Рассела и Уайтхеда, занимает более чем 200 страниц.

Уверен, многие из вас сталкивались с ситуацией, когда объясняли кому-нибудь доказательство теоремы, и вдруг слышали что-то вроде: «это как-то сложно, а можно попроще?» Вот он — ещё один камень преткновения, обосновывающий необходимость смотреть на одно и то же утверждение под разными углами.

Ведь каждый человек под простотой понимает нечто своё. В самом деле, задумайтесь, какое доказательство будет «попроще»: самое формально строгое, самое короткое, самое наглядное, самое элементарное? Это может показаться удивительным, но на одном ответе не сойдутся. Потому и ведётся работа над доказательствами, близкими к каждой из этих точек зрения. Здесь это оправдано необходимостью строить мосты от строгости науки к понятности для широкой аудитории. Ранее я уже раскрывал тему научного и популярного изложения математики, потому не буду углубляться в дальнейшие детали о строении таких «мостов».

Умение искать разные подходы к одной и той же задаче очень полезно не только в математике, но и в жизни, где редко встречаются задачи, к которым можно подступиться единственным способом. Более того, первый способ часто может не сработать: его не поймут, ему не поверят, он не убедит. Поэтому приходится искать другой путь: более наглядный образ, более строгий расчёт или более убедительное рассуждение.

Гибкость мышления — навык, который сложно переоценить. Доказывая одно утверждение разными способами, вы развиваете этот навык, подключая смелость мысли, воображение и адаптивность. Вы учитесь менее ограниченному и более пластичному мышлению. Конечно, это не единственный способ его развить, но в жизни этот навык точно пригодится всем.

Повторение — мать не только учения, но и глубины понимания. Недаром родилась цитата, приписываемая Брюсу Ли: «Я не боюсь того, кто изучает десять тысяч различных ударов. Я боюсь того, кто изучает один удар десять тысяч раз». Ведь мастерство закаляется многократным возвращением к одному и тому же действию, но с вариациями, с уточнениями, со вниманием к новым деталям. Это работает и в доказательствах: вроде бы, снова и снова рассматривается одно и то же утверждение, но на самом деле прорабатываются всё более глубинные слои его понимания.

Некоторым кажется, будто повторное доказательство — это лишняя, никому не нужная и неблагодарная работа. Но — верите или нет — порой именно в ней рождается новое открытие. Человек повторяет доказательство, и вдруг выходит на свет неожиданный принцип или свойство, или даже новая техника, находящая применение далеко за пределами исходной задачи. Так произошло с Эйлером, исследовавшим тригонометрические ряды, или с Абелем, ухитрившимся ввести третий параметр в разложение бинома Ньютона.

Анализ уже существующих доказательств тоже порой приводит к открытиям. Вспомнить только профессора По-Шен Ло, огласившего в 2019 году новый способ решения квадратных уравнений, основанный на внимательном анализе работ Виета, древних вавилонян и греков. В результате применение теоремы Виета перестало быть «угадайкой» и стало алгоритмом: неоспоримо полезное и недооценённое достижение!

Для тех, кто учится, многократные доказательства тоже полезны: за ними кроется не только тренировка мышления, но и подготовка к будущим вызовам. Подумайте: на экзамене (к примеру, на профильном ЕГЭ по математике) встречаются задачи, которые проще и быстрее решить менее известными, но более эффективными техниками; в жизни можно встретить собеседника с иной точкой зрения на тот же вопрос, а в профессиональной деятельности — коллег, которым нужно объяснить сложную идею понятным для них способом. Это уже не абстрактная математика, а реальный инструмент убедительного объяснения.

Даже в свете всего упомянутого не поспорить, что задача вида «докажи ещё раз» будет вызывать у ученика внутреннее недовольство: мозг часто склонен воспринимать повторение как бессмысленный труд. Но стоит помогать ученику взглянуть на это глубже: смысл ведь не в повторении, а в том, чтобы расширить мышление. Каждый новый способ доказательства — это ступень, ведущая не только к истине, но и к большей гибкости, ясности и креативности.

Так что «доказывать по 40 раз одно и то же» — это не издевательство и не пустая прихоть. Это способ увидеть задачу под разными углами, укрепить уверенность в истине, суметь понятно её объяснить, натренировать гибкость ума и, быть может, даже совершить новое открытие.

Как мастер боевых искусств оттачивает один удар тысячами повторений, так и исследователь учится заново доказывать то, что уже доказано. Это не скука, это — подлинная мыслительная сила. Быть может, однажды, осознав это, ученик, с досадой спрашивавший «зачем?», сам откроет ещё один способ доказать теорему — и действительно ощутит, насколько же многогранной может быть истина.

Источник: vk.com

Комментарии: