Очередные новости решения открытых математических проблем с помощью современного ИИ

С помощью gpt-5 удалось найти решения сразу 10 открытых проблем Эрдёша!

Это очень сложные комбинаторные проблемы, связанные с тем, как расставлять точки на плоскости оптимальным путем, как складывать числа эффективно и как строить графы.

Это поразило и удивило сразу же многих математиков, так как решенные проблемы были чрезвычайно сложными. Однако оказалось, что gpt-5 нашел старые статьи с решениями, опубликованные в журналах с низким импакт-фактором, так что их просто никто раньше не заметил и поэтому не было известно, что эти 10 открытых математических проблем уже давно решены.

Одной из таких задач является известная задача 339 из базы Эрдеша ( тут https://www.erdosproblems.com/forum/thread/339 )

Эта задача, сформулированная легендарным математиком Полом Эрдёшем, касается так называемых «баз порядка r».

Представьте, что у вас есть бесконечный набор кубиков LEGO, но не всех возможных видов, а только определенного набора форм (например, только кубики 1x1, 1x4, 1x9, 1x16 и т.д. — квадраты чисел). Ваша задача — строить из них башни любой целочисленной высоты, но с двумя строгими правилами:

1. Вы должны использовать ровно r кубиков (скажем, ровно 4).

2 Все кубики в одной башне должны быть разного типа.

База порядка r — это такой "набор" кубиков, из которого можно построить башню любой достаточно большой высоты, следуя этим правилам.

Теперь возникает вопрос Пола Эрдёша. Он не просто спрашивает:

"Можно ли построить башню высотой n?" Он задает гораздо более глубокий вопрос: "А сколькими способами это можно сделать?"

Может быть, башню высотой 1000 можно построить только одним уникальным набором из 4-х кубиков.

А башню высотой 1001 можно построить уже двадцатью разными способами.

А для высоты 1002 способа снова нет.

Проблема Эрдёша заключается в изучении плотности и равномерности этих представлений. Если мы можем построить башни почти любой высоты, и для каждой высоты есть примерно одинаковое, ненулевое количество способов, то наш набор кубиков — очень хорошая "база". Он "покрывает" все числа равномерно. Если же количество способов сильно скачет — от нуля до сотен, — то покрытие неравномерное и хаотичное.

Результаты, связанные с этой задачей, формируют мощный аналитический инструмент. Допустим, строится новая теория. Если в ней возникает подзадача, связанная с представлением чисел суммами, можно не решать её с нуля, а применить установленный факт о количестве таких представлений как готовую лемму. Это позволяет "срезать углы" в сложных доказательствах и сосредоточиться на новизне основной проблемы.

Источник: www.erdosproblems.com

Комментарии: