Доброго дня всем ценителям прекрасного! ?

Математика — это одна из наук, поражающая нас своей бесконечностью и красотой своего внутреннего мира! Множество ее объектов настолько прекрасны внешне, что первое впечатление остается на всю жизнь в нашей памяти. Такими примерами являются фракталы!

В нашем веке они очень хорошо и глубоко изучены, их многочисленные приложения не оставляют равнодушным никого, даже самого яростного нелюбителя математики. Не менее поразительно и то, что основная идея фрактала очень проста — простые конструкции + масштабирование и копирование.

Давайте сравним кровеносную систему человека и дерево, внешне они имеют очень много схожего, а главное — их самоподобие, то есть, похожесть на самого себя. Такое свойство было открыто французским математиком Бенуа Мандельбротом.

Окунувшись в бесконечный мир фракталов, можно заметить множество отличий, например, форма фигур и их представление в виде множеств. Поэтому их можно разделить на несколько видов.

1. Геометрические (строятся на основе какой-то геометрической фигуры путем дробления частей и их преобразований. Изначально предназначались для биологических клеточных систем. Один из примеров — дерево Пифагора (см. картинку 1)).

2. Алгебраические (их основа — математические формулы, которые становятся графиками на плоскости. Самые известные — фракталы Мандельброта, Жюлиа, а также бассейны Ньютона. Все они связаны с комплексными числами, разные лишь их степени. Например, у фракталов Жюлиа и Мандельброта основой служат квадраты комплексных чисел, а у бассейнов Ньютона — кубы (см. картинки 2-4)).

3. Стохастические (схожи с алгебраическими, но в процессе построения их параметры меняются случайным образом, что и порождает их необычные формы. Главное отличие — возможно построить лишь при помощи компьютера (см. картинку 5)).

4. Конструктивные (в основе лежат 2 фигуры — основа и фрагмент. На первом этапе изображается основа будущего фрактала, далее некоторые ее части заменяются фрагментом, взятым в подходящем масштабе, — это первая итерация построения. Затем у полученной фигуры снова некоторые части меняются на фигуры, подобные фрагменту, и т. д. Ярким примером служит всем известная снежинка Коха (см. картинку 6), в основе которой лежит треугольник).

5. Динамические (результат исследования нелинейных динамических систем с помощью комплексного многочлена f(z). Пусть имеется начальная точка z0, рассмотрим такую бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). В зависимости от z0 эта последовательность может вести себя по-разному: стремиться к бесконечности при n -> ?; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты. Любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор автор сделал не на громоздкие формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию. Благодаря компьютерным иллюстрациям и разным забавным историям, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения.

С появлением компьютеров образовалось целое направление в искусстве — цифровая живопись. И почувствовать себя художником может каждый, нужно лишь немного воображения и фантазии, ну и ПК, куда же без него))

P.S. В приложении прикреплен постер с просторов Интернета, в котором довольно красиво и компактно изложена вся необходимая информация о фракталах))

Источник: vk.com

Комментарии: