Слышали ли вы когда-нибудь про производные Виртингера?

Классическая математика любит «хорошие», идеально гладкие функции. А реальный мир — он «шумный» и неидеальный. Как, например, описать мощность ошибки в сигнале 5G? Или обучить нейросеть, которая работает с радиоволнами? Для таких задач классические методы не подходят.

И тут на сцену вышло гениальное решение, которое еще в 1927 году предложил австрийский математик Вильгельм Виртингер.

Любое комплексное число — это `z = x + iy`. Виртингер предложил: «А давайте сделаем вид, что `z` и его "брат-близнец" `z? = x - iy` — это две независимые переменные!»

Анализировать их по отдельности удобнее. Так и здесь: вместо одной сложной производной мы получаем две простые и универсальные — производные Виртингера.

Этот подход позволяет применять мощь комплексного анализа к ЛЮБЫМ функциям из реального мира, а не только к идеальным.

С помощью производных Виртингера можно мгновенно понять, является ли функция «хорошей» (голоморфной). Такие функции сохраняют углы, что критически важно для картографии и аэродинамики.

Многие законы природы, от распределения тепла в процессоре до электрических полей, описываются оператором Лапласа.

= ??/?x? + ??/?y?.

С помощью операторов Виртингера эта формула превращается в более простую и красивую конструкцию: ? = 4 ??/(?z ?z?)

Идея, которой почти 100 лет, сегодня переживает ренессанс в самых горячих областях:

Обработка сигналов (5G, Wi-Fi, радары)

Современный радиосигнал по своей природе является комплексным. При оптимизации систем связи инженеры постоянно решают задачу минимизации некоторой действительной величины — например, среднеквадратичной ошибки или уровня помех. Для этого используется метод градиентного спуска, который требует вычисления градиента. Исчисление Виртингера (в инженерных кругах его часто называют CR-calculus) предоставляет прямой и элегантный способ найти этот градиент для действительных функций от комплексных аргументов.

Искусственный интеллект

Появляются комплексные нейросети, которые очень эффективны при работе с волнами и колебаниями. Чтобы их обучать, нужен всё тот же градиентный спуск, и для него используют эти производные. Они показывают огромный потенциал при работе с данными, которые имеют естественную фазовую структуру — например, при анализе радиолокационных изображений или сигналов в электросвязи.

Кроме этих областей, исчисление Виртингера находит применение в гидродинамике, квантовой механике и при изучении минимальных поверхностей, доказывая свою фундаментальность.

Первая картинка взята из краткой статьи со ссылками: ссылка 1

Для изучения рекомендую статью Introduction to the Cauchy-Riemann operator Joel H. Shapiro, April 26, 2021 (ссылка 0), к посту прикрепил скриншоты из нее. Далее прикрепил скриншоты из статьи об автоматическом дифференцировании, где используется матричное представление для вычисления производных Виртингера на компьютере: ссылка 2.

Также на русском языке есть более сложно написанная статья

Чиа-чи Тун, О производных Виртингера и операторе,

сопряженном к ?, а также об их приложениях,

Изв. РАН. Сер. матем., 2018, том 82, выпуск 6, 172–199: Ссылка 3

W. Wirtinger, "Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Ver?nderlichen", Mathematische Annalen, 1927 — фундаментальная работа, с которой все началось (для ценителей истории математики).

Статья, в которой сравниваются между собой обычный комплексный анализ и исчисление Виртингера : ссылка 4

Также интересна современная статья, написанная довольно популярно, про основы теории комплексных нейронных сетей и их реализации

Ссылка 5

THEORY AND IMPLEMENTATION OF COMPLEX-VALUED NEURAL NETWORKS

Она связана с библиотекой для работы с такими сетям, которая находится тут

ссылка 6

Наконец, в последнее время набирает популярность "матричное исчисление Виртингера", которое создано для использование его в квантовой информатике, в которой оно представляет довольно естественный и удобный язык описания работы квантового компьютера. Подробнее тут: ссылка 7

Последние прикрепленные скриншоты - оттуда.

Статья Теренса Тао про комплексные производные, включающая основы исчисления Виртингера: ссылка 8

Источник: vk.com

Комментарии: