Недавно в одном обсуждении под книжным постом мне попались на глаза книги Жан-Поля Пенo с крайне провокационными названиями Geometry Without Shapes, Number Theory Without Whole Numbers, Algebra

Недавно в одном обсуждении под книжным постом мне попались на глаза книги Жан-Поля Пенo с крайне провокационными названиями Geometry Without Shapes, Number Theory Without Whole Numbers, Algebra Without Variables, Statistics Without Data. Я решил подойти к этим книгам строго, с позиции математика, и вот что могу сказать.

Прежде всего, подход Пенo - это сознательное абстрагирование. Он не отвергает классические понятия, а вытаскивает их из контекста, оставляя лишь структуру. Например, в Geometry Without Shapes мы не найдём ни окружностей, ни треугольников. Но именно в этом суть геометрия становится не наукой о фигурах, а наукой о отношениях инциденции, непрерывности, топологических свойствах.

То же касается Number Theory Without Whole Numbers, здесь он переходит от конкретных натуральных чисел к общим структурам например, свойства делимости, примитивность, остаточные классы всё это можно формализовать в абстрактных кольцах и полях. Это классическое направление современной алгебры, отвязать свойства от конкретных объектов и перенести их на более широкие категории. Пенo, по сути, строит обобщённую арифметику без чисел на аксиомах и свойствах.

В Algebra Without Variables он предпринимает ещё более радикальный шаг. Алгебра без переменных это логическая алгебра, алгебра отношений, может быть, универсальная алгебра. Он показывает, что основная цель алгебры не решение уравнений, а изучение структур и операций над ними. Здесь переменные как символы становятся не нужны важна сама операция, её свойства коммутативность, ассоциативность, наличие нейтрального элемента. Именно это и составляет содержание таких дисциплин, как теория групп, колец и модулей.

Книга Statistics Without Data звучит как насмешка, но она, пожалуй, самая философская. Если убрать данные, что останется от статистики? Ответ теория вероятностей в чистом виде. Вероятностные пространства, меры, ожидания всё это можно формализовать без единой таблицы наблюдений. Пенo здесь рассуждает о природе случайности, о логике вероятностного вывода, о смысле статистических понятий до того, как мы их “загрузили” реальными значениями. Это напоминает подход фон Мизеса или Колмогорова, но с более философским уклоном не столько “как считать”, сколько “что значит считать”.

Но наиболее строгая с математической точки зрения из всех Calculus Without Derivatives (входит в серию Graduate Texts in Mathematics как том 266). Здесь Пенo предлагает отказаться от классических производных в пользу обобщённых дифференциалов субдифференциалов, обобщённых градиентов, вариационных принципов. Такая теория особенно важна в оптимизации, в негладком анализе, где функции не обязаны быть дифференцируемыми, но при этом поддаются строгому анализу.

Что объединяет все эти книги - это их структурное мышление. Пенo не абстракция ради абстракции, он показывает как избавившись от привычного, можно вскрыть фундаментальные принципы. Его работы не для начинающих, но и не для узких специалистов. Они требуют зрелого математического мышления, способности оперировать аксиомами, категориями, отображениями. Он пишет не про приложения, а про основания.

Таким образом, если судить строго я бы сказал большая часть этой серии не про математику, а про образ мышления о математике. Она интересна как мета-комментарий, как вызов, как провокация. Но если вам нужна настоящая геометрия возьмите Гартшорна. Если вас интересует алгебра откройте Хангартнера или Джейкоба. А книги Пенo оставьте как интеллектуальный аперитив: для размышления, но не для обучения. Чтение этих книг не столько обучение, сколько философско-математическая медитация. Они не научат решать задачи по шаблону, но поставят под сомнение сам шаблон. И если вы в какой-то момент захотите взглянуть на математику не как на набор формул, а как на форму мышления они окажутся ценным и неожиданным проводником.

Ну а если серьёзно: такой серии не существует. У Жан-Поля Пенo есть всего две реальные книги — «Calculus Without Derivatives» и «Analysis: From Concepts to Applications». Остальное — интеллектуальная шутка, но, согласитесь, звучит заманчиво, не так ли

Источник: vk.com

Комментарии: