Не так давно в нашей группе было несколько постов об известном математике Григории Перельмане, которому удалось решить одну из задач тысячелетия — доказать теорему Пуанкаре

Многое было сказано о фактах из его жизни, о его сегодняшнем образе жизни, научных интересах и т.д. Поэтому хотелось бы посвятить данный пост задаче, которая не давала покоя ученым более 100 лет!

Итак, истоки проблемы ведут в начало 19 века, когда лондонский математический институт опубликовал список Millennium Prize Problems (проблем тысячелетия). В нем было 7 классических научных задач, за решение каждой из которых учреждалась премия в миллион долларов:

Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).

Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).

Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).

Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).

Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).

Изначально задача была сформулирована в 1904 году как предположение о свойствах трехмерных сфер. В общем виде оно сводилось к гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Для значений n, кроме 3, задача была решена спустя несколько десятилетий (Стивен Смэйл, Джон Роберт Стэллингс, Эрик Кристофер Зиман нашли решение для n=5, 6 и больше 7. А в 1982 году Майкл Фридман получил премию Филдса за доказательство при n=4).

Но вот трёхмерный случай заставил ученых знатно попотеть.

Чтобы понять суть такой великой проблемы, нужно разобрать некоторые базовые топологические понятия.

1. Гомеоморфизм - взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать.

Например, шар и куб - это гомеоморфные тела, ведь шар легко получается при "раздувании" куба и, наоборот, "примяв" шар, получить куб обратно. Аналогично можно сказать о торе и кружке (см. фото 2).

2. Связность описывает, насколько «целостным» является топологическое пространство, можно ли разбить его на две или более «несвязных» частей.

Например, если попытаться обернуть петлей из резиновой ленты поверхность шара, то она, сжимаясь, соскользнёт с него. Этого можно избежать, если в объекте имеется отверстие (дырка), как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту безо всяких трудностей.

3. Если объект или пространство разделить на множество составных частей-окрестностей, окружающих какую-то точку, то их общность будет образовывать многообразие. А конечное число таких элементов называется компактностью.

Например, поверхность нашей планеты можно "сложить" из отдельных карт её районов, собранные в атлас. А на глобусе эти изображения уже обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной будет лишь небольшой точкой.

В итоге теорема Пуанкаре эквивалента следующему вопросу: Является ли трёхмерная сфера единственным (с точки зрения "резиновой" геометрии) трёхмерным объектом, который конечен, не имеет краёв и в котором любую петлю можно стянуть в точку?

Доказательство Григория Перельмана сводится к обоснованию существования в трёхмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – трёхмерной сферы, а другие, как трёхмерный тор, неодносвязные.

Путь к верному доказательству Перельман смог найти после нескольких бесед с профессором Гамильтоном, упомянувшем о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации. Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Но Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.

Свое уникальное доказательство Григорий опубликовал в форме 3 статей в интернете (2003 год). Это сразу же вызвало необычайный интерес ученых всего мира. К сожалению, не очень многие смогли понять ход мыслей гения, но спустя 4 года они были приняты официально как доказательство первой из проблем тысячелетия.

Задача Пуанкаре имеет очень широкое практическое применение, поэтому её доказательство имеет такое важное значение не только для математики, но и для других областей, например, физики, инженерии, программирования.

Примеры практического использования гипотезы Анри Пуанкаре:

Моделирование физических процессов. Теорема Пуанкаре используется в физике для анализа стационарных источников и стоков, таких как поле скоростей в жидкостях или электрическое поле в твердых телах.

Решение систем уравнений. Для математического моделирования требуется решение систем уравнений. Теорема Пуанкаре позволяет определить, существует ли решение и, если да, то где оно находится в пространстве параметров.

Криптография. Теорема Пуанкаре имеет применение, в частности, для проверки эффективности алгоритмов шифрования. Она позволяет убедиться, что алгоритм шифрования действительно переводит данные из одного пространства в другое и не теряет информацию.

Компьютерная графика. Теорема Пуанкаре применяется для построения реалистичных изображений. Помогает создавать трехмерные модели и анимации.

Источник: vk.com

Комментарии: