Представляем вам пост Ман Дарина, который он прислал на конкурс новых авторов Ёжика. Просим поддержать коллегу реакциями/комментариями/перепостами!

Если ещё в школе вас не смущал отрицательный дискриминант, и вы смело говорили: «решение есть, но лежит в комплексной плоскости», то вы невольно приоткрывали для себя завесу к целому непаханому полю новых областей математики. Начнём с простого. Пусть у нас есть полином f(x) = x^2 + 1. На вещественной оси решений нет, в комплексной плоскости x1 = i, x2 = -i. А вот в кватернионах, то есть для чисел вида; z = a + ib + jc + kd. Где a,b,c,d – вещественные числа, а i,j,k аналог числовых осей, где каждое число из этой тройки является корнем из -1. Так, постойте! Есть вещественное число – т.е. одна ось, есть комплексная плоскость – т.е. две оси, есть кватернионы – 4 оси. Куда делось число с 3 осями?! А всё дело в его величестве симметрии и инвариантах. Умножение вещественных и комплексных чисел ассоциативно и коммутативно. Но куда важнее то, что для них можно определить операцию обратную делению и для чисел размерности 1, 2, 4, 8 (т.е. октав) возможно построить алгебру с нормированным делением. То есть для них умножение сохраняет норму |a*b| = |a|*|b|, и для которых aa+ = |a|^2 (+ - комплексное сопряжение). А по теореме Гурвица в пространствах размерности 3, 5, 6 и т.д. невозможно построить такую алгебру. Но при этом, умножение кватернионов не коммутативно. Зато оно имеет связь с линейной алгеброй, если разделить вещественную ось и комплексную часть (i,j,k) и представить её как вектор. a = a1 + a2, b = b1 + b2, где a1 и a2 – вещественные и комплексные части числа соответственно, то a*b = a1*b1 – (a2, b2) + a1*b2 + b1*a2 + [a2, b2]. В круглых скобках скалярное умножение векторов, в квадратных – векторное. Вернёмся к поиску корней полинома f(x). Кватернион в квадрате это z^2 = a^2 – b^2 – c^2 – d^2 + 2iab + 2jac + 2kad. Вы можете получить эту формулу, если примените умножение a*b с условием, что a1 = b1, a2 = b2. Итак, теперь ищем корни уравнения. Так как комплексная часть 2iab + 2jac + 2kad по условию ровна 0, то а = 0, b^2 + c^2 + d^2 = 1. То есть решение x^2 + 1 = 0 представляет собой сферу единичного радиуса в комплексном объёме. Теперь у читателя могут появиться новые вопросы; В комплексной плоскости решений 2, потому что полином разлагается на сомножители (x+i)(x-i) = 0. Тут всё понятно. А теперь решений целый континуум! Мне что теперь представлять функцию от полинома как бесконечное произведение, которое, между прочим расходится и имеет несчётное множество множителей?! И читатель прав, если использует алгебру с коммутативным умножением! Основная теорема алгебры гласит; полином n степени с комплексными коэффициентами имеет n корней в поле комплексных чисел. Но комплексные числа по теореме Фробениуса – это максимальное расширение поля вещественных чисел с коммутативным умножением. Таким образом, потеряв коммутативность, мы потеряли и справедливость основной теоремы алгебры. А зачем нам нужна такая бесполезная алгебра, где даже такие вечные истины теряются? Но любая потеря чем-то восполнима! А если ничто не истинно, то всё дозволено. Если у уравнения x^2 + 1 = 0 целая сфера решений, то кто мешает нам взять кватернионы a, b, c и искать решения ax^2 + bx + c = 0. Но перед отдалением от бога зададим наводящий вопрос; сфера – частный случай поверхности второго порядка. Будут ли нули любого квадратного уравнения в кватернионах поверхностями второго порядка?! Итак, найдём дискриминант, а ой, случайно алгеброй ошибся. Хотя… Как говорил мастер Угвей; случайности не случайны. В виде уравнения ax^2 + bx + c = 0 нам бы хотелось уменьшить количество параметров. Ввиду свойств нормированного деления мы всегда можем найти c* такое, что cc* = 1 (спойлер, с* = с+/|c|^2). Тогда, рассмотрев уравнения ax^2 + bx + 1 = 0 – мы рассмотрим все семейства квадратных уравнений. Возьмём какое-либо уравнение. И решим его, что называется «в лоб». Решая квадратное уравнений, например (1+i)x^2 + (1-i)x + 1 = 0 мы увидим, что оно не имеет решений. Да что ж это такое?! Мы уже и от коммутативности умножения отказались, и от основной теоремы алгебры отказались, а оно всё не решается! Может, тогда проще отказаться от кватернионов и остановится на хоть немного понятных комплексных числах?! Нет! Надо стоически выдержать удары судьбы и найти такие условия, при которых корни будут существовать. Математик – настоящий самурай! У него нет цели. Только путь! Разложив кватернионы на вещественную и комплексную часть по отдельности можно решить одно квадратичное и одно векторное уравнение. Есть работы, показывающие, что решение имеет два корня или ни одного если уравнение в кватернионах можно свести к решению квадратного уравнения в вещественных числах. То есть для них есть свой аналог детерминанта. В частности, Если векторные части коэффициентов a и b ортогональны, то решение можно получить по специальной формуле, аналогичной квадратному корню, но с учётом особенностей умножения кватернионов. Так что как бы далеко мы не отстранялись от вещественных чисел, изобретая сложные геометрии, алгебры, поля и кольца на алгебраических множествах, мы не так уж и сильно уходим от знакомых понятий. В общем случае решение сводится к уравнению, включающему норму кватернионов и их скалярные и векторные части. То есть мы отдельно составляем уравнение на векторные и вещественные составляющие. Ну и само собой, как же я могу оставить читателя без красивых картинок и экспоненциального представления кватернионов!1) Решение квадратного уравнения (1+i-2j-k)z^2 + (1-i)z + 1 = 0

Решение этого уравнения представляет собой кривую второго порядка. На рисунке изображён сегмент решения в срезе, где вещественная часть равна 0, ось симметрии кривой второго порядка и касательный вектор в точке. (Надеюсь, что геометрическое понимание этих понятий даст читателю представление об этом геометрическом множестве хотя бы локально).

2) Решение кубического уравнения. Решим кубическое уравнение в кватернионах с вещественными коэффициентами. az^3 + bz^2 + cz + d = 0. Возьмём понравившиеся числа, а там и не сложно распространить вывод на общий случай. z^3-2z^2+z+d = 0. Показательная форма для кватернионов выглядит следующим образом; q = r*(cos(?/2)+u*sin(?/2)) где u – единичный вектор в комплексном пространстве. Аналог формулы Муавра для кватернионов выглядит так: q^n = r^n*(cos(n?/2)+u*sin(n?/2)). Если векторная сумма полинома равна нулю, то отсюда следует; r^2*(sin(3?/2)) – 2*r*(sin(?)) + sin(?/2) = 0. Ну и такое квадратное уравнение уже решать не страшно и приятно. Ниже представлен график r = r(?). Учтём, что радиус не может быть меньше нуля по определению. R на графике это решение с минус корень от дискриминанта, r соответственно с плюсом. Теперь, посмотрим на функцию модуля и аргумента от параметра d. Она изображена на объёмном графике. Во-первых; можно увидеть, что при d = 0 наблюдается разрыв кривой. Во-вторых; решением уравнения так же, как и в случае с полиномом x^2 + 1 = 0 является сфера. С той лишь разницей, что она смещена по вещественной оси и радиус её зависит от параметра d. А для лучшего понимания геометрии решения советую читателю представить, как будет меняться радиус комплексной сферы и смещение вдоль вещественной оси при спуске и подъёме по графику. Для этого достаточно представить, что кривые на объёмном графике это ползунок, с помощью которого вы регулируете радиус сферы и движение по вещественной оси.

На этом я бы хотел закончить свой экскурс в кватернионы. Даже пробежавшись галопом по Европам, было опущено множество подробностей и нюансов. Этим эссе мне бы хотелось начать цикл работ, посвященный кватернионам, их свойствам и применениям. Многие слышали о кватернионах как об инструменте компьютерной графики, но в научно-популярных статьях и заметках будто обходят стороной применения кватернионов в оптике, квантовой физике, теории гравитации, алгебраической геометрии, теории групп и даже гидродинамике. А ведь эти числа когда-то сделали революцию в нашем понимании алгебры и комплексного анализа. Хотелось бы также поведать читателю смежную с ними тему октав и задаться вопросом; почему у октав не получилось того, что получилось у кватернионов?! А именно: найти применение в разных областях науки.

Источник: vk.com

Комментарии: