Обычный ужин в итальянской семье среднего достатка

Обычный ужин в итальянской семье среднего достатка. Глава семейства и жена – уважаемые в обществе школьные учителя, глубоко верующие, и старающиеся привить своим ученикам уважение к старшим, ответственность и гордость за свою страну. Из кухни доносится приятный аромат базилика, лука порея, помидоров и фасоли. Сегодня на ужин минестроне, полента и паста. Всё скромно, но со вкусом. Мать зовёт сыновей на ужин. Мать рассказывает о том, как Джузеппе подрался с одноклассником из другого класса. Над мальчиком смеялись из-за его нищеты.

В семье учителей пять детей. Вполне нормально для того времени. Старший сын – Эудженио, показывает большие успехи в точных науках, младший же не здорово интересуется радикальными политическими течениями. Именно эти увлечения математикой сыграют роковую роль в нашей сегодняшней истории.

«ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОВЕЛИ… с Юрием Цитрусом»

Пальмиро Тольятти – человек сложной судьбы, итальянский коммунист времён фашистской Италии, ученик Антонио Грамши. В честь него назван самый крупный город России, не являющийся областным центром. О его биографии много сказано и написано, чего нельзя сказать о его старшем брате. И нет, старший брат политического деятеля не был белой вороной, уродом в семье, ненавистником брата или жил в тени более выдающегося родственника. Пальмиро брата уважал и в чём-то ему старался подражать, но сведений о жизни Эудженио сохранилось разительно меньше, в чём есть некая несправедливость. Ведь старший брат не менее выдающаяся личность, правда, в области математики. И я считаю, стоит рассказать о главном достижении талантливого учёного.

«Поверхность Тольятти — алгебраическая поверхность пятой степени с 31 особой точкой (максимально возможное число среди поверхностей пятой степени)». Давайте, разберемся, что означает каждое слово в этом предложении из википедии.

31 – 11-ое простое число, сумма чисел с 1 до 31 равна 496 – самому большому совершенному числу, известному древним грекам, является числом Мерсена.

С – предлог, связывающий слова в предложения.

Число – одно из ключевых понятий в математике, используемое для количественной характеристики и сравнения…

Шутки в сторону. Алгебраическая поверхность — это двумерное алгебраическое многообразие, задаваемое полиномиальным уравнением в проективном или аффинном пространстве. Задаётся уравнением F(x ? ?n) = 0. F – это полиномиальная функция от точки x в n – мерном пространстве. Для простоты и удобства будем работать в 3-мерном пространстве вещественных чисел. Если вы помните, то любой полином от одной комплексной переменной можно разложить на простые множители. Но в пространстве бОльших размерностей существуют полиномы степени m которые невозможно представить в виде произведения двух полиномов меньших степеней. Такие полиномы называются неприводимыми. Данный факт сильно затрудняет поиск нулей функции, но в определении плоскости Тольятти прозвучало ключевое слово: «особая точка». Особая точка это точка, в которой нарушаются обычные условия гладкости или регулярности объекта, задаваемого полиномиальным уравнением. То есть в данной точке выполняется условие dF/dx = 0, dF/dy = 0, dF/dz = 0. Мы выяснили, что такое алгебраическая поверхность и что такое особая точка. Но к сути дела: а как выглядит уравнение Тольятти? В трёхмерном пространстве оно имеет вид: F(x,y,z) = x^5 + y^5 + z^5 – 5(x^3*y^2 + y^3*z^2 + z^3*x^2) или такой F(x,y,z) = x^5 + y^5 + z^5 – 5(x^2*y^2*z + x*y^2*z^2 + x^2*y*z^2) или такой F(x,y,z) = x^5 + y^5 + z^5 – 5(x^3yz + y^3xz + z^3xy), в общем, любое эквивалентное этим уравнениям (в проективных координатах запись аналогична). На первый взгляд, задача кажется не бей лежачего: У нас есть поверхность заданная полиномом, надо найти точку, где производная обращается в нуль. Только находить нули полиномиальных функций дело не благодарное. Даже для полинома от одной переменной третьей степени эта задача долгие годы считалась неподъёмной, а в начале 19 века Абель доказал, что для полиномов степени 5 и выше невозможно найти общей формулы для поиска корней (уравнение неразрешимо в радикалах, если говорить более строго). Но всё-таки если мы хотим найти плоскость, обладающую свойствами плоскости Тольятти, попробуем рассуждать так, чтобы «расплодить» как можно больше особых точек. Чтобы была одна особая точка достаточно и полинома второй степени (конус: x^2/a^2 + y^2/b^2 – z^2/c^2 = 0). А теперь эту одну точку надо получить снова. Что если для нашего полинома существуют такие линейные преобразования A, что F(A*x) = F(x). Тогда если в точка x0 особая, то и Ax0 тоже особая, таким образом, чем больше мы обнаружим таких линейных преобразований, тем больше особых точек будет для данного полинома. Полиномы пятой степени обладают циклической симметрией C5 (то есть не меняется при поворотах на 2m?/5 для целых m), и для степени 5 максимальная симметрия это симметрия группы икосаэдра Ih осталось только разобраться, какое максимальное количество точек при преобразовании сохранит своё значение. Порядок этой группы 120, а значит некоторое кратное ему число и будет количеством особенностей. Так! Мы же вначале говорили, что у плоскости Тольятти 31 особая точка. Вся причина в том, что точка (0,0,0) при линейных преобразованиях переходит сама в себя и является особой. И тут важно сделать замечание: симметрия для алгебраических плоскостей является инструментом проверки и скорее показывает сколько может быть особых точек, но не гарантирует «максимальность» их количества. Для доказательства максимума следует исследовать топологические и алгебраические инварианты, такие как Эйлерова характеристика, род поверхности, характеристика Холла и прочие и то, как будут вести себя поверхности при добавлении новых точек. Эудженио Тольятти только показал, что 31 минимум для поверхностей 5 степени достижим, но вот доказать максимальность этого количества особенностей смог только Арно Бовиль после смерти Тольятти, так что в рамках обзорной статьи, я считаю, рассказал достаточно. В качестве иллюстрации прилагаю набор из 31 точки, обладающих той же симметрией, что и особенности плоскости Тольятти. Это не точное воспроизведение их расположения, а один из вариантов их возможной расстановки.

Вся эта красота алгебраических поверхностей вдохновила меня на создание собственной! Представляю вашему вниманию плоскость пятой степени: F(x) = x^5 + y^5 – z^4 - 4xy^2 + 2zx^2y^2 - 2xyz + 3xy – 2. Она не обладает симметрией, да и особых точек у неё всего 5, но самое главное, что такую красоту порождают казалось бы понятные со школы полиномы. Впрочем, это уже совсем другая история!

Источник: vk.com

Комментарии: