Мозаикой Пенроуза

Думаю, что большинство из нас ежедневно сталкивается с одной очень интересной темой из геометрии — мозаикой Пенроуза. Ведь она широко используется для узоров на плитке. Поэтому сегодня постараемся разобраться, что же таится в этой геометрической красоте))

Итак, мозаика Пенроуза – это один из примеров апериодической мозаики, то есть, покрытия плоскости некоторыми непересекающимися фигурами или многоугольниками, не содержащего больших периодических участков или областей.

Носит имя английского математика Роджера Пенрозуа, занимавшегося их исследованием в 70-х годах прошлого столетия.

Существует несколько различных вариантов мозаики. Но изначально использовались все 4 разные формы плиток, которые впоследствии были сокращены уже до 2. Ими могут быть 2 разных ромба, или 2 разных четырехугольника (дротик и воздушный змей). Причем мозаика собирается исходя из ограничения в способах соединения этих фигур, чтобы избежать появления периодичности и сохранить уникальность узора.

Для этого используют следующие способы: правила сопоставления, замена плиток, схемы разрезания, проецирования и покрытия. Благодаря им получаются завораживающие и неповторимые узоры! ?

В общем мозаика Пенроуза облает следующими свойствами:

— отсутствие трансляционной симметрии;

— самоподобие;

— квазикристалличность;

— измельчение и укрупнение (подобие плиток с коэффициентом, равным обратному золотому сечению).

Но англичанин был не первый, кто занимался этим направлением. Тема апериодичных мозаик была исследована еще несколько лет до него. Например, в 1960-х годах логик Хао Ван представил мозаики из квадратных пластик, известные сейчас как Ван домино (см. рисунок 2). Он считал, что задача о заполнении плоскости таким домино так, чтобы соседние грани были одного цвета, неразрешима. Позднее его ученик Роберт Бергер в своей диссертации доказал, что решение есть, и для него необходимо 104 прототипа домино. Еще через пару лет Дональд Кнут упростил решение, доказав, что минимально потребуется всего 92 домино. А в 1971 году Рафаэль Робинсон смог еще упростить модель своего предшественника и получил апериодический набор, состоящий лишь из 6 прототипов (см. рисунок 3).

Всего существует 3 типа мозаик, которые объединены общим признаком – формы плиток связаны с правильным пятиугольником и золотым сечением. Все основные формы должны дополняться по правилам сочетаний, чтобы сохранить апериодичность.

ТИПЫ МОЗАИК ПЕНРОУЗА:

Р1 – имеются плитки 6 типов: 3 правильных пятиугольника, остальные – пятиконечные звезды и ромб (см. рисунок 4,5).

Р2 – имеются плитки 2 типов: выпуклый и вогнутый дельтоиды. Объединять их нельзя, так как это противоречит правилам сочетаний. Также в этом типе может быть 7 видов вершин. Д. Конвей называл каждую их них как солнце и луна (симметричные), а оставшиеся – как достоинства игральных карт: туз, король, дама, валет и двойка (см. рисунок 6,7).

Р3 – имеются плитки 2 типов: ромбы с одинаковыми сторонами, но разными углами (острые углы равны соответственно 36 и 72). Также в этом типе может быть 8 видов вершин. Брёйн назвал их по первым буквам названий вершин мозаики типа Р2 (см. рисунок 8,9).

Помимо математики мозаика Пенроуза встречается и в кристаллографии. Например, кристаллическая решетка алюминиево-марганцевых сплавов имеет такие же свойства.

Но чем же это может быть полезно? Оказывается, даже много чем. Несимметричное расположение атомов обладает следующими свойствами:

— низкая поверхностная энергия, благодаря которой к поверхности ничего не прилипает;

— низкое трение и износ (применимо для хирургических инструментов и бритвенных станков);

— применение для изготовления 3D-принтеров.

Интересный факт:

*** Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), сильно напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.

Источник: vk.com

Комментарии: