Нечёткие множества и нечёткая логика

В математике всё просто: элемент либо принадлежит множеству, либо нет. А в жизни... в жизни не всё так просто.

Теория нечётких множеств (fuzzy sets) и нечёткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики.

Нечёткие множества — возникают, например, при разбиении множества фруктов на спелые и неспелые (всегда есть полуспелые), множества городов на большие и маленькие (по какому критерию разбивать?), множества спортсменов на высоких и низких (есть ли чёткая грань?), множества учеников на умных и не очень (как будем определять? Неужели по баллам ЕГЭ?!! На эту тему уже не только #Ёжик_дискутирует ?).

Нечёткие множества и нечёткую логику придумал в 1965 году Лотфи Заде (1921—2017), американский математик азербайджанского происхождения. Потом (в 1994) он предложил также теорию мягких вычислений (англ. soft computing).

Простой пример — рост. Пусть В — множество людей высокого роста. Предположим (договоримся), что

- люди ростом x=2 метра и выше принадлежат В;

- люди ростом x=1,5 метра и ниже — не принадлежат В;

- остальные же — не полностью принадлежат В (на треть, на 80% и т.п.).

Вводится мера принадлежности элемента множеству. Эта мера — число от 0 до 1.

А значит, можно ввести и функцию принадлежности элемента множеству (характеристическую функцию). Обычная характеристическая функция (индекс), встречающаяся в матанализе, принимает значения только 0 и 1. Здесь же, в теории нечётких множеств, характеристическая функция может принимать ЛЮБЫЕ значения из отрезка [0;1].

В примере про рост разумно выбрать функцию принадлежности человека ростом х ? [1,5; 2] множеству В непрерывной и монотонно возрастающей от 0 к 1 (одна из возможных реализаций такой I(x) — третий слайд). Заметим, что мы отождествили всех людей одинакового роста. То есть получилось, что аргумент функции — не элемент множества людей, а элемент множества R. На практике (при реализации компьютерных систем) неизбежно возникнет ещё один нюанс — от множества R придётся перейти к какому-то дискретному множеству, ведь мы не умеем измерять рост с бесконечной точностью... Намёк на дискретизацию виден при внимательном рассмотрении картинки ?

Отметим, что вообще говоря условия непрерывности и монотонности функции принадлежности не требуются. На четвёртом слайде изображено нечёткое подмножество В множества R?. Оно, в отличие от обычного подмножества А множества R?, не имеет чёткой границы — граница размыта. Очевидно, что функцию принадлежности I(x,y) можно вводить произвольно (на рисунке ей соответствует "зелёность" пикселей). Единственное ограничение — она может принимать значения только из отрезка [0;1].

На пятом слайде — ещё один пример (на этот раз из википедии) функций принадлежности — на этот раз для температуры. Числовые значения практически достижимой температуры в комнате U = [5, 35] связываются с лингвистической переменной, принимающей всего три значения из множества T = {«холодно», «тепло», «жарко»}.

Возможные (волюнтаристски выбранные) характеристические функции лингвистических переменных вместе с графиками этих функций представлены на пятом слайде. Разумеется, в вопросе выбора этих функций всегда есть некоторая субъективность.

Нечёткая логика (fuzzy logic) — это обобщение классической логики на теорию нечётких множеств. Ведь если мы определили множества с неполной принадлежностью элементов, возникает закономерный вопрос — как определить на этих множествах логические операции НЕ, И, ИЛИ... Но об этом как-нибудь в другой раз.

Нечёткие множества и нечёткая логика возникли не на пустом месте. Это математический аналог процесса активации нейронов в нервной системе любого живого организма. Для активации выделяются определённые химические вещества, и от их количества (а также множества других, ещё не очень хорошо изученных нейрофизиологией факторов) будет зависеть — активируется нейрон в живой нейронной сети или нет...

Применяются нечёткие множества и нечёткая логика достаточно давно. Например, в рискологии (Risk Analysis) — нет чёткой грани между опасностью и безопасностью, всегда есть какая-то мера риска. Мягкие вычисления — неточные, приближённые методы решения задач — типичны для биологии, гуманитарных наук, управления. Нечёткие системы используются для управления транспортными средствами, а также при медицинской диагностике. Нечёткая логика и мягкие вычисления — математическая основа работы любой искусственной нейронной сети и искусственного интеллекта вообще.

Источник: vk.com

Комментарии: