Доброго времени суток, уважаемые коллеги!

Сегодня мы снова поговорим про динамику, однако если раньше мы говорили о каком-то порядке, то сегодня нас будет интересовать беспорядок, то есть хаос.

После недолгих размышлений вы поймете, что дать определение хаосу - задачка не из легких. Особенно тяжело это сделать, если учесть, что нас интересует хаос в контексте динамических систем, где уж если не обратное, так хотя бы само отображение вполне себе детерминировано и мы однозначно можем сказать куда переходит та или иная точка.

Как же тогда нам быть? В таких случаях нам помогает опыт естественных наук. Иначе говоря, давайте посмотрим на что-то довольно простое, но имеющее сложную, непонятную, нерегулярную динамику и назовем это хаосом, а потом уже будем пытаться формализовать. Примером такой динамики может служить движение двойного маятника при большом начальном угле отклонения. Что же мы наблюдаем такого в маятнике, что позволяет нам говорить о хаосе? А наблюдаем мы тот факт, что какие бы точные механизмы мы не использовали, каждый раз при проведении наблюдений, мы получаем совершенно разные траектории маятника. Связано это с тем, что двойной маятник на удивление чувствителен к самым малым отклонениям, а так как всякий механизм действует с некоторой погрешностью, то и одинаковую траекторию мы получить не сможем как бы ни старались. Кроме того мы видим, что почти все точки мы посещаем очень много раз, что наталкивает нас на мысль о какой-то периодичности движения.

Вторым примером того, что мы хотели бы считать хаосом, является прогноз погоды. При численном решении на больших временных промежутках системы дифференциальных уравнений, описывающей параметры атмосферы в некоторой точке, мы получаем настолько разные результаты, если немного изменить начальные данные даже в десятой цифре после запятой, что адекватный прогноз погоды на неделю вперед не представляется возможным. Для полного понимания картины представьте, что вы проводите моделирование. Как и всякий адекватный исследователь, вы проверяете результаты. Ввели начальные данные в первый раз - получили, что через неделю в вашем городе будет +20. Ввели начальные данные во второй раз, но чуть уменьшили временные отрезки, на которые разбиваете отрезок моделирования - получили, что в вашем городе будет -70. Конечно, хочется начать ругать компьютер или метод вычисления, однако на самом деле вся проблема в системе дифференциальных уравнений, которую устранить невозможно. И здесь мы наблюдаем ещё одну часть того, что мы хотим называть хаосом - результат моделирования не только чувствителен к начальным данным, но ещё и получается абсолютно произвольным.

Давайте теперь попробуем как-то проанализировать наши наблюдения того, что мы хотим называть хаосом. Во-первых, мы видим, что при хаотическом поведении система очень чувствительна к начальным данным. Во-вторых, практически все точки являются периодическими, пусть период и достаточно большой, так как траектория проходит через них огромное количество раз. В-третьих, результат может быть любым. Если формализовать это, то получится, что хаотическим мы хотим называть отображение F, если для него выполнены следующие условия:

1) F транзитивно, т.е. траектории всюду плотны

2) Периодические точки F всюду плотны

3) Отображение F чувствительно к начальным данным

Именно такое отображение и называется хаотичным в смысле Дивани. На данный момент это одно из самых популярных определений хаоса, хотя есть и более общее, использующее понятие топологической энтропии, которое расширяет класс систем, которые мы называем хаотическими.

Вы могли бы подумать, что хаотические системы должны быть устроены достаточно сложно и иметь много нелинейностей, ведь даже приведенные жизненные примеры математически описываются довольно сложно. Однако это не так. Существуют настолько простые примеры хаотических отображений, что после них возникает ощущение, будто хаос есть везде, где есть какая-либо динамика. Два самых простых примера - логистическое отображение, например, L(x)=3.9*x*(1-x) или палаточное (tent) отображение, которое вообще кусочно линейно.

Чем же тогда занимается теория хаоса, если там все так плохо? Ищет регулярности в хаосе, однако об этом как-нибудь в другой раз.

P.S. На первой картинке изображена одна из возможных траекторий двойного маятника. На второй картинке изображен аттрактор Лоренца. В зависимости от начальных условий траектория системы стремится либо к правому, либо к левому крылу "бабочки". Причем даже при очень близких начальных данных нельзя однозначно сказать куда будет стремиться траектория.

Источник: vk.com

Комментарии: