У меня опять пост-размышление

Часто доводится слышать (обычно от нематематиков либо "формально математиков" с дипломом), что-то вроде "математика есть перечисление следствий произвольных аксиом", причём это подкрепляется цитатами авторитетов вроде Гегеля или Лема.

У меня данные сентенции вызывают раздражение; так неужели это неправда?

Я бы сказал так. Это похоже на известный внутренний диалект русского языка, с дюжиной корней и значительной смысловой перегрузкой каждого и с фантастической контекстной зависимостью. Да, на нём можно выражать весьма сложные мысли весьма ёмко и кратко (вспомним известную байку об экономной форме передачи мысли "приказываю уничтожить орудие, ведущее огонь по нашим позициям"), многие активно используют его в речи - но при всём этом это малая часть языка в целом, для точной передачи информации она не очень подходит и в приличном обществе не одобряется.

Люди, по работе перечисляющие следствия из произвольных аксиом, если и существуют — то считанные на весь Земной шар. Если учесть любителей, то ненамного больше. О причинах чуть далее.

Сначала о том, почему это мнение возникло. Это моё видение ситуации, причём я не историк науки и могу заблуждаться. А дело в том, что был не так давно этап, когда многое столетиями незыблемое оказалось относительным. Речь не только о релятивистике или квантах, хотя эти концепции сильно пошатнули веру в незыблемое. Математика не отставала, а то и опережала: неевклидова геометрия, удивительные результаты теории множеств, HSI-гипотеза и многое другое. Оказалось вдруг, что "можно по-всякому", что привело к определённой эйфории и многочисленным экспериментам. И логики разные конструировались, и числовые системы, и геометрии, и что только не. Вот тогда-то и оформилось мнение, что вся математика это и есть подобные упражнения ума.

Однако если "по-всякому" и можно, но точно нельзя "как угодно". Мы не придумываем, а открываем. Не так просто взять какой-то набор аксиом и получить что-то интересное. Скорее всего, будет одно из четырёх:

1) получится противоречие (примером является попытка повторить успех Лобачевского путём введения аксиомы "любые две прямые пересекаются": если кто не знает, то строится пример двух различных прямых с двумя общими точками, а работа по затыканию дыр приводит к геометрии сферы).

2) Получится что-то уже известное (пример со сферой), но с другого бока. Это небесполезно, но и особым прорывом не является.

3) Не получится ничего доказать. Пример - отмена аксиомы "через две точки можно провести ровно одну прямую". Не "провести ровно", а "ровно одну". Слишком много всего и никаких особых следствий не будет.

4) Получится что-то тривиальное: теорем много, но толку от них никакого. Например, если положить "все числа равны", то там и теорема Ферма будет, и все уравнения решаются, и у любого многочлена сколько угодно корней.

А всё интересное уже получено, разобрано и изучено.

Теперь давайте обсудим, кто занимается именно что аксиоматикой. Можно попробовать "пошевелить" основные аксиомы: геометрии, теории множеств, топологии. Может быть полезно. Но это не "произвольные системы", а вариации себя уже зарекомендовавших.

Можно подвести базу под используемые понятия: комплексные числа, пространство-время ОТО, термодинамические системы. Но это не "произвольные системы", а то, из чего получается то, что надо, и свободы выбора тут немного.

Можно определять что-то совершенно новое. Но тут обычно запрос с конца: то есть всё сводится к одному из предыдущих вариантов. Пример — это Колмогоров со своей вероятностью, но тут то ли п.2 (вероятность уже вовсю изучалась), то ли всё-таки нечто совершенно новое (такая — не изучалась).

Прикладной математик, считающий течения в океане или циклоны в атмосфере, геномы и расписания, поведение животных или социальных групп, полёт космического аппарата или крылатой ракеты — это даже обсуждать не стоит. Никто ему не даст играться с аксиомами.

Но и т.н. "чистый" математик, работающий в области ТФКП, уравнений математической физики, топологии или любой другой ветви - работает в рамках той дисциплины, в которой работает. Теорему Ферма доказали, но в рамках тех аксиом, в которых она была поставлена. Для многочленов она верна и доказана давным-давно, но толку-то. Мало ли где она верна или неверна - доказать-то надо в N.

Можно возразить, что любой математик, доказывающий что-то, так или иначе перечисляет следствия из каких-то аксиом, даже если он с ними непосредственно не имеет дела и даже не знает их. Вроде как всё выводится из Цермело-Френкеля, а значит, все результаты суть цепочки следствий из них.

Но это возражение "тривиально истинно". Это то же самое, что говорить, что любая работа вообще - это биохимия: сигналы в синапсах, реакция на эти сигналы, распад молекул с выделением энергии и вот это вот всё.

Если чуть более подробно, то ведь для доказательства результата в ТФКП не то что необязательно знать ZFC и как из них вывести свою теорему - необязательно даже, чтобы это было возможно. Я не знаю, но мне говорили, что аксиоматической теории ТФКП нет. Но кому это мешает? ТФКП-шник опирается на аксиомы своей науки, но они не абы какие, а именно такие, как "свыше задумано", и эта опора не в большей степени опора, чем уверенность водителя в правильности ньютоновской механики (которой он пользуется, но не обязан знать, причём описать динамику автомобиля через аксиомы механики совсем не так просто, и я не уверен, что это вообще делается). Для прикладных областей нужно столько всего, что тут высовывает голову Курт Гёдель со своей теоремой о неполноте, и получается, что даже чтоб одно следствие "перечислить", надо столько всего, что это даже затруднительно сформулировать.

Это приводит к парадоксу, которым можно отбивать подобного рода наскоки. Математик не перечисляет следствия из произвольных (или каких угодно) аксиом, и даже более того: он не всегда перечисляет аксиомы, из которых следуют его результаты.

Пусть этим кто-нибудь другой занимается.

Источник: vk.com

Комментарии: