Доброго времени суток, уважаемые коллеги!

После долгого перерыва в написании постов, за который мне надавали ментальных пинков, я с двух ног снова врываюсь в это дело! Надеюсь, в этот раз всё продлится куда дольше и занятость не заставит меня выпасть из процесса. Наша тема на сегодня - гиперболическая динамика, точнее её основы.

Сегодня мы с вами затронем лишь дискретные системы. Суть вопроса заключается в следующем. В одном из своих прошлых постов (если их хоть кто-то помнит) я, если мне не изменяет память, рассказывал про классификацию неподвижных точек у гладких дискретных систем. У таких систем могут быть источники, стоки, седла и сложные состояния равновесия. Чтобы выяснить кто есть кто, мы должны найти собственные числа матрицы Якоби и в зависимости от этого делать вывод о характере точки. Но возникает вопрос: а почему мы так можем делать? Ответ на этот вопрос, как вы понимаете, есть и имя ему - теорема Гробмана-Хартмана!

Уже по фамилии одного из авторов этой теоремы можно понять, что её доказательство - дело не из лёгких. Приводить его здесь я точно не буду, так как иначе пост превратится в мешанину из математических символов и заумных слов, хотя последними мне пользоваться придется. Нам важна лишь суть теоремы, а она такова, что в окрестности неподвижной точки диффеоморфизм сопряжен со своим дифференциалом в некоторой окрестности нуля касательного пространства к многообразию. Напомню, что сопряженность в динамических системах - прямой аналог изоморфизма в алгебре или гомеоморфизма в топологии, то есть это своего рода эквивалентность динамических систем. В общем то, сопряженность двух систем это и есть существование определенного гомеоморфизма. И вот для отображения касательного пространства в себя классификация неподвижных точек с помощью собственных чисел вполне себе правомочна. А уже из сопряженности динамической системы и её дифференциала на следует, что узнав тип неподвижной точки для дифференциала мы автоматически узнаем и тип неподвижной точки для самой динамической системы. Надеюсь, никто не запутался в этом потоке сознания, состоящем из заумных слов :)

Если проводить аналогию с уже известными результатами, то каждый, кто хоть сколько-нибудь адекватно изучал дифференциальные уравнения, знает аналогичный результат. Помните как вы, исследуя систему дифференциальных уравнений, искали неподвижные точки, а позже по собственным значениям линеаризованной системы делали вывод о характере неподвижной точки? Так вот это - прямой аналог того, что мы делаем для дискретных систем. Только доказывается раза в три или четыре сложнее.

Если говорить о доказательстве, то оно представляет из себя смесь методов функционального анализа и топологии, хотя, вполне вероятно, что есть и более простые доказательства. В общем то, без знаний в обеих этих областях математики в динамические системы лучше не лезть, иначе вам грозит вынос мозга и желание спрятаться под кровать, а под кроватью злой монстр... В общем, вы меня поняли :)

Под конец держите простенькую задачку. Дано отображение f(x,y)=(3x+y-z, x+2y+z, y+z). Найдите его неподвижные точки и определите их тип.

На сегодня у меня всё. Надеюсь, мое возвращение в написание постов хоть кого-то обрадовало и вы получили удовольствие от этого потока сознания. А на картинке, кстати, изображен типичный случай, когда у динамической системы неподвижная точка - источник.

Источник: vk.com

Комментарии: