СПОРЫ ПРО ТАНГЕНС, НЕ РАВНЫЙ НУЛЮ

На прошедшей неделе в сообществах преподавателей математики активно обсуждался вопрос, «вшито» ли утверждение cos(x) ? 0 в утверждение tg(x) ? 0.

Перед тем, как я изложу свою точку зрения, хотелось бы выделить некоторые основания, на которые я буду опираться, но которые не имеют прямого отношения к математике.

Основание №1. Для получения точного и ясного ответа на некоторый вопрос, этот вопрос должен быть удачно сформулирован.

Вопрос, сформулированный выше («вшито» ли утверждение cos(x) ? 0 в утверждение tg(x) ? 0?) видится мне крайне неудачным и потому неоправданно дискуссионным.

К слову, философы давно столкнулись с проблемой неудачных вопросов, которая (зачастую) проистекает не из сложности предмета обсуждения, а из неспособности людей ясно формулировать свои мысли и придерживаться строгих определений.

Если кто-то хочет в эту тему углубиться, то рекомендую обратиться к лекциям по философии Витгенштейна или напрямую к его книгам (которые очень трудно воспринимать и понимать).

Надеюсь, что в конце поста мне удастся переформулировать вопрос более удачно, чтобы дать на него ясный ответ.

Основание №2. Учебники бывают очень разными. Не на всякий учебник или учебное пособие можно ссылаться, защищая свою позицию: одни учебники имеют больший вес, чем другие.

Вес определяется отношением профессионального сообщества к учебнику (это отношение трудно измерить) и тем, прошёл ли учебник научную экспертизу (наличие экспертизы легко определить вхождением учебника в Федеральный перечень учебников).

Некоторые учебники написаны для детей определённого возраста и потому этим учебникам можно простить какие-то неточности и недомолвки.

Например, необязательно восьмикласснику знать, что утверждение «квадратное уравнение не имеет корней при D < 0» является ложным или, по меньшей мере, неточным, неполным.

Причина, по которой мы скрываем от учеников правду, заключается в том, что правда для них (пока что) слишком сложна. И будет мешать им воспринимать новый материал. Со временем ученики сами узнают, что мы были с ними не до конца честны и, мне кажется, простят нам наше решение защитить их от правды в угоду понятности.

Иногда учебники написаны для старшеклассников и преподавателей, но всё равно содержат неточности, которые подмечает без особого труда даже старшеклассник-лицеист.

Как же выбрать учебники достаточно точные и полные для поиска ответов на самые заковыристые вопросы? Не знаю. Но я выбираю те учебники, которые прошли научную экспертизу и потому входят в Федеральный перечень учебников.

На дату публикации поста, 17 февраля 2025 года, в этот перечень входят учебники Виленкина (5–6 классы), Макарычева (7–9 классы) и Мерзляка (10–11 классы). Других учебников математики с 5 по 11 классы я в перечне не обнаружил.

В общем, кратко оба основания можно изложить так: вопрос нужно формулировать корректно и на математическом языке, а для аргументации своей точки зрения и ответа на вопрос нужно использовать учебники, которые прошли научную экспертизу.

К посту я прикрепил картинки из учебника Мерзляка за 10 класс. Каждое предложение на картинках очень важно! Уже на первых трёх картинках можно найти ответ на обсуждаемый вопрос, но я всё-таки раскрою смысл написанного на картинках.

Всякое уравнение, неравенство, система или совокупность — это предикат. Но термин «предикат» является более широким. Например, утверждение «x делится на 5 с остатком 3» тоже является предикатом.

Обратите внимание, что предикат никогда не рассматривается в отрыве от множества, на котором он задан (первые 2 картинки). А ОБЛАСТЬ ИСТИННОСТИ предиката всегда является подмножеством ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ предиката.

Именно эта идея является ключом к ответу на вопрос, который в начале поста сформулирован. Да что там! Эта идея является ключом к формулированию удачного вопроса.

Например, вопрос можно сформулировать так:

«Входит ли хотя бы один корень уравнения cos(x) = 0 в множество истинности предиката tg(x) ? 0?»

Ответ: «Все x, при которых cos(x) = 0, не входят в область определения предиката tg(x) ? 0, а значит, и в область истинности этого предиката не входят».

Другими словами, наличие в системе предиката tg(x) ? 0 означает, что решением системы не будут те значения x, при которых cos(x) = 0.

Поэтому при решении уравнений с дробями, где в знаменателе стоит tg(x), достаточно записать предикат tg(x) ? 0 и не писать предикат cos(x) ? 0. Хотя включение в систему условия cos(x) ? 0 не является ошибкой и даже не является недочётом.

Процесс поиска ответа на вопрос видится мне более важным, чем сам ответ, но всё-таки сформулирую свою точку зрения явно.

Опираясь на определения из современного учебника, прошедшего научную экспертизу, можно заключить, что условие cos(x) ? 0 «вшито» в условие tg(x) ? 0, потому что всякий предикат (будь то предикат tg(x) = 0 или предикат tg(x) ? 0) рассматривается на некотором множестве. А всё, что не входит в это множество (в ОДЗ уравнения tg(x) = 0 или ОДЗ неравенства tg(x) ? 0) автоматически не входит и в область истинности предиката.

Разумеется, всякий корень уравнения cos(x) = 0 не входит в ОДЗ выражения tg(x), а потому не входит в ОДЗ уравнения tg(x) = 0 и не входит в ОДЗ неравенства tg(x) ? 0.

Таким образом, утверждение cos(x) ? 0 «вшито» как в уравнение tg(x) = 0, так и в неравенство tg(x) ? 0.

P. S.

К сожалению, даже этот современный учебник, прошедший научную экспертизу, содержит пробелы в построении формальной системы (картинка 3). Авторы вводят понятие равносильных предикатов только для случая, когда области определения этих предикатов равны.

Поэтому не до конца понятно, считать ли предикаты (?x = 1) и (x = 1) равносильными. С одной стороны, их множества истинности совпадают, что, по определению из учебника, якобы должно означать, что предикаты равносильны.

С другой стороны, в преамбуле к определениям (преамбула — это некоторые предварительные записи) отмечено, что предикаты, которые рассматриваются в определениях, следует считать заданными на одном и том же множестве M.

То есть получается, что как будто бы для предикатов, которые заданы на разных множествах, вообще не введено понятие равносильных предикатов и все следующие понятия (совокупность предикатов, система предикатов, импликация предикатов).

Такое положение дел оставляет пространство для домыслов и спекуляций, которые выливаются в дискуссии больших размеров, чем следует.

P. P. S.

Несмотря на мелкие неточности, которые есть в учебнике Мерзляка, мне он по-настоящему нравится.

Для примера я прикрепил картинку №4, на которой, по моему мнению, очень грамотно изложено, почему система, в которую входит совокупность, превращается в совокупность из нескольких систем.

Вообще на все эти системы, совокупности, уравнения и неравенства нужно смотреть с двух удобных позиций: с позиции алгебры множеств (с операциями объединения и пересечения) и с позиции алгебры логики (с операциями дизъюнкции и конъюнкции).

Именно такой взгляд позволяет найти ответы на многие вопросы и сильно помогает при решении егэшных задач (особенно задач с параметрами).

Источник: vk.com

Комментарии: