Новая теория вычисления интеграла

Несколько дней тому назад я искал на своём компьютере некоторую информацию. Забегая вперёд, скажу, что то, что мне было нужно, я не нашёл. Зато, как это бывает обычно, нашёл много другого, весьма интересного!

В том числе мною была найдена брошюра Т.Г. Незбайло «Новая теория вычисления интеграла». В этой расширенной статье предлагается находить интеграл от функции через производную n-го порядка, записанную в специальном виде. И, как мне показалось, автор рассматривает алгоритмический метод вычисления неопределённых интегралов — задачу, которая, как мне известно, до сих пор считающуюся открытой.

Ну а сейчас несомненный успех поста о дробных производных, который был у нас в это воскресенье, подтолкнул меня опубликовать на Ёжике интересную статью Тиберия Георгиевича как можно быстрее.

Публикуем предисловие к этой работе, а если вас это заинтересует, почитайте саму брошюру, которая также прикрепляется к этому посту!

Основы теории дифференциального и интегрального исчисления заложены независимо в трудах Ньютона и Лейбница в период с 1666 по 1702 год И хотя с тех пор эта теория существенно обогатилась трудами многих выдающихся математиков: И. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Коши, Лобачевского и других, она все же содержит нерешенную до настоящего фундаментальную проблему: данная теория не задает математический алгоритм операции интегрирования.

Действительно, алгоритм операции дифференцирования достаточно гладкой функции $f$ определяется формулой

egin{equation*}

frac{d}{d x} f(x)=lim _{delta ightarrow 0} frac{f(x+delta)-f(x)}{delta} ag{1.0}

end{equation*}

В то же время под неопределенным интегралом от этой же функции $f(x)$ понимается равенство:

egin{equation*}

int f(x) d x=F(x)+C, ag{1.1}

end{equation*}

где $C$ - произвольная постоянная, $F(x)$ - первообразная функции $f(x)$, т. е. любая функция, удовлетворяющая равенству:

egin{equation*}

frac{d}{d x} F(x)=f(x) ag{1.2}

end{equation*}

Посредством какого математического алгоритма, т. е. последовательности известных математических операций, можно перейти от функции $f(x)$ к первообразной $F(x)$, пока современной математике неизвестно. Таким образом, под вычислением неопределенного интеграла от функции $f(x)$, т. е. определением $int f(x) dx$, понимается набор математических алгоритмов, когда посредством искусственных приемов: замены переменной интегрирования, использования формулы интегрирования по частям и т.д., производится преобразование выражения $f(x) d x$ к виду, который принадлежит к уже известному множеству интегралов (1.1). В том случае,

если это удается сделать, интеграл $int f(x) dx$ считается вычисленным, если нет, то задача остается нерешенной.

Поскольку из формул (1.1) и (1.2) следует:

egin{equation*}

frac{d}{d x}left(int f(x) d x ight)=f(x), ag{1.3}

end{equation*}

то это означает, что операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.

Таким образом, между операциями дифференцирования и интегрирования существует некая связь, в определении которой и заключается задача настоящей работы. Устанавливается эта связь через исследование свойств $n$-й производной от функции $f$.

Источник: vk.com

Комментарии: