Привет!

Мне 23 года, спб.

Занимаюсь математикой и машинным обучением, это почти полностью меня характеризует как человека.

Все, на этом инфа закончилась, ибо качества личности и прочая тема зависят от собеседника: что он увидит — то и будет. Поэтому давайте займемся вместо этого кое-чем интересным. Я читал, что какой-то китайский lecturer рубит бабки на порнхабе, заливая туда свои лекции по математике. Интересно, получится ли тут срубить что-нибудь аналогичным образом (надеюсь, правда, что не бан)?

Итак, сегодня мы будем разбирать некий математический мем, который я нашел на реддите. Он прикреплен к посту — сразу после моих фоток. Этот мем достаточно простой, чтобы объяснить его на широкую аудиторию, но вместе с тем имеет ряд изюминок. Правда, мне не хватит места, чтобы разобрать все буллеты подробно, так что сорри. :(

Мем про так называемую теорию меры. Супер важная вещь, поскольку позволяет, помимо всего прочего, формализовать теорию вероятности во всей ее полноте. Проблема с наивным теорвером вот в чем. Как учат в школе считать вероятности? «Делите число благоприятных исходов на число всех исходов», — говорит училка. Это очень урезанное и тупое понимание вероятности. Представим, что я бросаю точку на отрезок с закрытыми глазами. Спрашивается: с какой вероятностью он попадет в левую половину отрезка? Интуитивно кажется, что 1/2. Но это число не получить по формуле из головы училки, потому что число всех исходов здесь бесконечно (в отрезке бесконечное количество точек), как и число благоприятных исходов (половина от бесконечности — бесконечность).

Есть менее очевидные косяки наивного понимания вероятности, связанные с условным матожиданием, но это довольно техническая вещь, и мы ее скипнем.

Так вот, Колмогоров всего 100 лет назад догадался, что вероятностью можно описать как особую меру — объект, изучаемый в собственно теории меры, и все встало на свои места.

Вообще, если уйти от связи теории меры с вероятностью, то в общем и целом мера — это некая машина ?, которая на вход кушает объект, а на выходе дает его размер ?(object). Например, есть считающая мера: она на вход берет любое множество и на выходе отдает количество элементов в нем. Та же вероятностная мера: на вход получаем событие, на выходе — степень уверенности в нем. Но больше всего приходит на ум длина / площадь / объем фигур. Ложатся ли эти понятия на меру? Да, такой объект называемся мера Лебега. Но с ней есть один тонкий нюанс, который имеет корни аж в основаниях математики.

В начале 20 века люди вовсю пользовались так называемой наивной теорией множеств Кантора. Что такое множество с этой точки зрения? Well, просто собрание произвольных объектов, неопределимое и само собой разумеющееся понятие. Если есть произвольное свойство, то всегда есть множество объектов (быть может, пустое), которые ему удовлетворяют. И вот именно эта штука привела к краху. Обнаружился парадокс Рассела, который все поломал. Все запаниковали и начали делать корректную теорию множеств в духе аксиоматического подхода — так появилась теория ZF(C). Z — Цермело, F — Френкель, C — choice axiom. Так вот, этот хвост C (аксиома выбора) — двуликое нечто. С одной стороны, она типа очевидна: если вам дали коробки с ботинками, то из каждой вы можете взять по ботинку. С другой стороны, она приводит к кое-каким контринтуитивным заключениям.

Так вот, если мы работает в системе ZFC (то есть с аксиомой выбора), то существует фигура, которая не имеет площади. Не в смысле площадь равна 0 (как у точки), а в смысле буквально не определено понятие площади. Такие объекты называются неизмеримыми по Лебегу. Простейший пример — множество Витали (гугл). Собственно, первый пункт мема про это — че за дичь, в смысле есть нечто без понятия площади.

Технически, это значит, что мера ? принимает в себя не любой объект, а только объект из некого класса "хороших" объектов. У них есть структура, они образуют сигма-алгебру. Про это 3й буллет мема.

Кстати про контринтуитивные следствия из аксиомы выбора. Фейнман в "Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!" рофлил над математиками, которые рассказали ему, как из одного апельсина сделать два такого же размера. Это референс на парадокс Банаха-Тарского. Он действительно позволяет из шара, скажем, объема 1 м^3 сделать два шара объема 1 м^3 каждый. Без растягиваний и всяких хитрых склеиваний. Вот такая вот "очевидная" возможность из коробок достать ботинки.

Вернемся к теорверу. Вы знали, что "событие имеет вероятность 0" не равно "событие не произойдет"? В том же примере с бросанием точки на отрезок событие того, что он упадет в любую наперед взятую конкретную точку равно 0, но тем не менее после броска точка попала куда-то. Про это 4й буллет мема.

Все, уже и так слишком много.

Источник: vk.com

Комментарии: