В умных телепередачах и видеороликах часто попадаются люди, которые произносят страшные слова «интерполяция» и «экстраполяция»…

Например: «Экстраполяция текущей ситуации на обозримый период позволяет считать, что прогнозируемые тенденции развития остаются разнонаправленными». Что сказал – непонятно, зато сразу видно – эксперт.

Мы не хотим сказать, что всё на свете просто. В мире полно сложных вещей. Но слова «интерполяция» и «экстраполяция» сложными только кажутся. Что мы сейчас вам, дорогие друзья, и продемонстрируем!

Давайте внимательно прочитаем две задачки:

Задача 1

Вася каждое утро делает зарядку. В январе он смог отжаться от пола 5 раз. В феврале он смог отжаться от пола 7 раз, а в марте – уже 9 раз. Сколько раз Вася сумеет отжаться от пола в апреле?

Задача 2

В январе ларёк бизнесмена Зюзюкина принёс прибыль 50 тысяч рублей. В феврале – 70 тысяч рублей. В марте – 90 тысяч рублей. Сколько рублей прибыли принесёт ларёк бизнесмена Зюзюкина в апреле?

Чем эти задачи похожи? Тем, что в них спрашивается про неизвестное будущее. У нас есть какие-то числовые данные по прошлому и настоящему (количество отжиманий, рост, прибыль – да что угодно). А надо попытаться предсказать, какими же эти результаты будут в будущем. И вот тут перед нами появляются два пути. С одной стороны, мы можем включить свой скепсис – то есть, тьфу!.. недоверие – и сказать, что предсказывать такие вещи – занятие довольно-таки глупое. Скажем, Вася в апреле может взять и бросить физкультуру. А ларёк бизнесмена Зюзюкина закроет налоговая. С другой стороны, включается наша природная математика, то есть логические рассуждения: «Если в феврале было на два отжимания больше, чем в январе, а марте – на два больше, чем в феврале, то логично будет предположить, что в апреле отжиманий снова будет на два больше, то есть одиннадцать».

В быту мы, сами того не замечая, постоянно пользуемся такой логикой. Именно она и называется в математике «экстраполяция». (Если совсем точно, то «линейная экстраполяция».) На латыни слово «экстер» означает «вне», а «полюс» – «столб», или «точка». В таких задачах у нас как бы есть «опорные точки» – уже известные факты, а вопрос нам задают про точку, находящуюся снаружи известной области. А почему линейная? Представьте, что мы решили нарисовать график: в январе – 5 отжиманий, ставим точку. В феврале – 7 отжиманий, ставим точку. В марте – 9 отжиманий, снова ставим точку. А теперь прикладываем к нашим точкам линейку и чертим линию! И этот график довольно точно «предскажет» нам успехи Васи в апреле.

Само собой (вы уже догадались об этом, и это правильно!), такой способ – экстраполяция – совершенно не годится для долгосрочных прогнозов. Простейший пример: в возрасте 6 лет рост Васи был 110 сантиметров. В возрасте 12 лет – 140 сантиметров. В возрасте 18 лет – 180 сантиметров. Каким будет рост Васи в возрасте 24 года? Если мы используем ту самую линейную экстраполяцию, то получается, что в возрасте 24 лет Вася (точнее, уже взрослый Василий Васильевич) будет ростом 220 сантиметров, а в возрасте 30 лет – и вовсе 260 сантиметров! Кхм...

Но вот для прогнозов «на ближайшее будущее» экстраполяция предсказывает результаты весьма точно. В математике придумано множество способов экстраполяции, помимо линейной: квадратичная, кубическая, экспоненциальная... И все они успешно работают – каждая для решения своей задачи.

Теперь второе страшное слово – «интерполяция». Подсказка: латинское слово «интер» означает «между», «посрединке»... Догадались?

Возьмём всё те же самые наши две задачи и слегка их переделаем.

Задача 1.1

В январе Вася смог отжаться от пола 5 раз. В марте он смог отжаться от пола 9 раз. Сколько раз Вася смог отжаться от пола в феврале?

Задача 2.1

В январе ларёк бизнесмена Зюзюкина принёс прибыль 50 тысяч рублей. В марте – 90 тысяч рублей. Сколько рублей прибыли принёс ларёк бизнесмена Зюзюкина в феврале? Ну конечно – интерполяция на основании настоящего и какого-то отдалённого прошлого позволяет определить, что было в недалёком прошлом. Как и экстраполяция, в определённых случаях интерполяция может ошибаться (скажем, в феврале Вася болел и почти не делал зарядку). Но в среднем интерполяция – и наш здравый смысл, наша логика! – подсказывают: раз в январе 5, а в марте 9, то в феврале... ну... где-то посередине, да?

Как и экстраполяция, интерполяция в математике бывает самой разной – линейной, квадратичной, кубической, полиномиальной, сплайновой – в общем, на получебника хватит. Причём интерполяция и экстраполяция относятся к неточным, то есть приближённым методам вычислений, поэтому и изучает их область математики, которая называется «теория приближений». Об этой теории мы рассказывали в номере 2/2023, который можно скачать из вложения к этому посту.

Источник: www.ozon.ru

Комментарии: