Российский научный фонд поддержал исследования математиков ЮУрГУ

7 декабря состоялось очередное заседание еженедельного научного семинара «Уравнения соболевского типа», руководит которым уже более 30 лет профессор Георгий Свиридюк. На семинаре были представлены результаты работы коллектива в рамках реализации гранта, поддержанного Российским научным фондом, «Алгоритмы и методы повышения эффективности управления гидродинамическими процессами на основе стохастических систем», выполняемого под руководством профессора Алены Замышляевой.

Отметим, что целью данного проекта является разработка алгоритмов численного и аналитического решения задач управления для процессов, описываемых с помощью неклассических моделей математической физики со случайными начальными состояниями. В рамках первого года для проведения исследования прикладных задач был разработан математический аппарат, позволивший найти условия существования и однозначной разрешимости начально-краевых задач различного вида для стохастических (полу)линейных неклассических уравнений математической физики, а также для решения задачи оптимального управления решениями систем различной природы.

Результаты своих исследований представили, в частности, профессор Алена Замышляева со своими учениками доцентами Евгением Бычковым, Ольгой Цыпленковой и аспиранткой Анной Кащеевой.

По окончании работы над проектом предполагается получить универсальные алгоритмы нахождения оптимального управления решениями начально-краевых задач для неклассических уравнений математической физики, описывающих различные гидродинамические явления. При этом повышение эффективности управления в таких моделях понимается как минимизация, например, расходуемых ресурсов на управление. Полученные теоретические результаты для исследования вырожденных моделей диффузии, фильтрации и управления этими процессами предполагается применить для разработки алгоритмов и реализовать их в виде комплексов проблемно ориентированных программ.

Для прогнозирования возможного загрязнения грунтовых вод сточными водами промышленных предприятий возможно использовать математические модели фильтрации жидкости в грунте (в трещинновато-пористых средах), построенных на основе обобщенных уравнений Девиса и Дзекцера. Математические модели диффузии применимы для описания процессов перемещения воздушных масс.

В работах первого года по проекту получены условия однозначной разрешимости класса вырожденных стохастических моделей гидродинамики, диффузии и фильтрации со случайными начальными состояниями. Разработаны алгоритмы построения численного решения исследуемых стохастических моделей со случайными начальными состояниями на основе проекционного метода.

На семинаре представили свои результаты профессор Наталья Манакова с ученицей Надеждой Николаевой. Абстрактные результаты и разработанные алгоритмы апробированы на математических моделях нелинейной диффузии, движения подземных вод со свободной поверхностью, фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде, движения волн на мелкой воде, в основе которых лежат неклассические уравнениям математической физики.

В технике и технических системах управления, основанных на датчиках, возникает задача оптимального динамического измерения, в которой по известному выходу системы необходимо восстановить входной сигнал. При этом в качестве математической модели измерительного устройства также выступает задача оптимального управления, только в этом случае, для системы леонтьевского типа с начальными условиями Шоуолтера – Сидорова. Математический аппарат по теории оптимального управления, разработанный в рамках проекта, лег в основу численного метода решения такой технической задачи.

Для более точного понимания изучаемых процессов предполагается развитие профессора Софьей Загребиной и ее ученицей нового направления, связанного с изучением позитивных решений линейных уравнений соболевского типа. Это обусловлено тем, что величины в исследуемых задачах (например, плотность, давление и др.) не могут принимать отрицательные значения, поэтому необходимо получить заведомо неотрицательно определенное (позитивное) решение. В проекте, прежде всего, получены условия существования и единственности позитивного решения начальных задач для абстрактного неоднородного линейного уравнения соболевского типа. Кроме того, найдены условия существования решения задачи оптимального управления.

Отметим, что представления результатов исследований проходят регулярно на еженедельных заседаниях семинара, такие обсуждения очень продуктивны и полезны как для молодежи, так и сложившихся ученых. Научный семинар ставил и ставит своей целью обсуждение результатов и активного научного поиска в области уравнений соболевского типа по созданию общей математической теории, а также ее применению для решения прикладных задач.

Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 24-11-20037).