Алеаторные и эпистемные неточности в математических моделях: вероятностный и невероятностные подходы

Любое математическое моделирование, в том числе и оценка рисков в физических и инженерных системах, неизбежно осуществляется в условиях неточностей/неопределённостей (англ. uncertainties), обусловленных 1) случайностью явлений и 2) неполными сведениями об исследуемой системе. Высокая степень неточностей, как отмечают риско?логи Т.Авен и О. Ренн [1], может быть проблемой в том случае, если чревата серьёзными последствиями.

Итак, математическая модель реальной системы зависит от ряда гипотез и параметров. Модель эта позволяет в каждый момент времени рассчитать числовые параметры (например, вероятность аварии в этой системе), которые лицо, принимающее решения (ЛПР) сравнивает с числовыми параметрами, предписанными в регламентах безопасности, а также с ранее наблюдаемыми показателями. Количественная оценка рисков очень помогает принятию решений.

Неточности удобно подразделять на два различных типа:

1) случайные, или алеато?рные – от слова ‘aleatory’ (неточность «объективная», «стохастическая», «неустранимая» – ‘objective’, ‘stochastic’, ‘irreducible’);

2) эпистемологические, или эпистемные – ‘epistemic’ (неточность «субъективная», «обусловленная состоянием знаний», «устранимая» – ‘subjective’, ‘state-of-knowledge’, ‘reducible’).

Алеаторная неточность связана со случайными вариациями, то есть с внутренне случайной природой явлений, происходящих во время работы системы. То есть она обусловлена случайностью (стохастичностью) событий, которые влияют на функционирование системы. Примеры: уровень или поток воды в реке, температура воздуха, землетрясения, эрозия и заиление, другие природные процессы. Различное поведение людей (скажем, покупателей на рынке) в стандартных, стабильных, хорошо предсказуемых ситуациях тоже можно считать алеаторной неточностью.

Эпистемная неточность связана с недостатком наших знаний о явлениях, лежащих в основе функционирования системы. Это и неточности принятых гипотез, и неточности значений (фиксированных, но малоизвестных) внутренних параметров данной модели. Эпистемная неточность нередко обусловлена тем, что модель слишком упрощена и, следовательно, не учитывает некоторые важные явления, влияющие на систему.

Для представления алеаторной неточности обычно используются вероятностные модели: пуассоновская/экспоненциальная модель для событий, происходящих случайно во времени (например, случайные отказы оборудования); биномиальная модель описания отказов; модель Гумбеля максимального уровня воды в реке и т.д. Вероятностная модель предполагает некоторую стабильность системы. Обычно она строится так:

(i) наблюдаем за интересующим нас явлением;

(ii) собираем данные о явлении;

(iii) применяем статистический анализ => выясняем распределение, которое наилучшим образом отражает изменчивость имеющихся данных;

(iv) уточняем параметры выбранного распределения.

С точки зрения частотной вероятности (которая есть предел относительной частоты наблюдения некоторого события в серии однородных независимых испытаний) доступные данные интерпретируются как наблюдаемые случайные реализации базовой, воспроизводимой вероятностной модели. Таким образом, реальность моделируется (аппроксимируется) с возрастающей точностью по мере увеличения объёма доступного набора данных.

Однако на практике этой предполагаемой стабильности модели часто нет. Описанные процедуры (i)–(iv) не могут быть идеально выполнены.

Дело в том, что инженерные системы зачастую уникальны: они изготавливаются не серийно, эксплуатируются и используются индивидуально, их жизненный цикл не идентичен жизненному циклу каких-либо других подобных систем. В таком случае вероятностную модель построить нелегко или даже невозможно. Например, нет смысла определять (частотную) вероятность террористической атаки. Аналогично, практически невозможно вычислить (частотную) вероятность сценария взрыва на технологическом предприятии, так как генеральную совокупность бесконечного числа аналогичных ситуаций сложно описать.

«Да, — пишут риско?логи Т.Авен и Э.Зио, — используя субъективно-вероятностный подход, всегда можно назначить событиям вероятности, но информация, на основании которой они назначены, может не отражаться в придуманных числах. Можно, например, две разные ситуации оценить вероятностью 0,7; но в одном случае это число подтверждено значительным объёмом соответствующих данных, а в другом — отсутствием данных вообще» [3].

С целью преодоления указанных недостатков вероятностного представления неточности в математических моделях используются альтернативные (невероятностные, не полностью вероятностные) подходы:

• теория нечётких множеств (fuzzy set theory)

• нечёткие вероятности (fuzzy probabilities)

• теория случайных множеств (random set theory)

• теория очевидностей (evidence theory)

• теория возможностей (possibility theory)

• вероятностный анализ (probability bound analysis) с использованием вероятностных блоков (p-блоки, p-boxes)

• интервальный анализ и интервальные вероятности.

Самый простой пример — параметры, которым аналитик не может или не желает назначить точную вероятность, задаются интервалами, то есть диапазонами значений. Можно приписать вероятности каждому из значений этого интервала (задать функцию плотности вероятности), или хотя бы указать матожидание, то есть попытаться математически отразить скудные знания аналитика.

Такая процедура вместо единственного, конкретного распределения вероятности даст семейство функций, в том числе пару экстремальных, ограничивающих, "предельных" совокупных функций распределения (Cumulative Distribution Functions, CDF).

Как это будет выглядеть — видно на рисунках (взятых из статьи [2]), ну а для глубокого погружения в тему неточностей и рисков — кратенький список литературы:

[1] Aven Т., Renn О. Some foundational issues related to risk governance and different types of risks. Journal of Risk Research, 2019. https://doi.org/10.1080/13669877.2019.1569099

[2] Pedroni N., Zio E., Pasanisi A., Couplet M. A Critical Discussion and Practical Recommendations on Some Issues Relevant to the Nonprobabilistic Treatment of Uncertainty in Engineering Risk Assessment. https://doi.org/10.1111/risa.12705

[3] Aven T, Zio E. Some considerations on the treatment of uncertainties in risk assessment for practical decision making. Reliability Engineering and System Safety 2010; 96(1): 64-74.

[4] Глоссарий / SRA (Society of Risk Analysis): https://sra.org/wp-content/uploads/2020/04/SRA-Glossary-FINAL.pdf

Источник: sra.org

Комментарии: