О том, как ежики в матанализе могут поправить Спинозу. Часть 1

Здесь начало серии из трех заметок про бесконечные множества. После третьей будет предложена Викторина по математическому анализу, в которой надо будет решить 100 задач на различные свойства подмножеств числовой прямой и виды функций в анализе (монотонные, непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые). В первых двух частях введение литературное, а в третьей дадим современные строгие определения всех понятий.

Философия Нового времени интересна тем, что она почти целиком основана на осмыслении объектов математического анализа. Например, философия Декарта во многом проистекает из рассуждений об аналитической геометрии, системах координат, о понятии функции и биекции. Его философия была связана даже с видами кривых - он их делил на геометрические и механические, а в его философии понятия механизма и геометрического играли важную роль.

Чемпионом такого рода философии был Спиноза. Он, во-первых, перенял к себе всю философию Декарта, а, во-вторых, стал развивать свою, опираясь во многом на свои интуиции относительно разных видов бесконечных множеств, и соотношений между ними. Более того, вся его философия состоит из аксиом, определений, лемм и теорем. На могиле Спинозы стоит икосаэдр, а сам он как символ своей философии использовал две неконцентрические окружности (как на втором фото).

С двумя окружностями связано известное рассуждение Спинозы о том, что бывают разные виды бесконечных множеств. Когда они жил, не было никакой строгой математической терминологии, которая позволяла бы аккуратно рассуждать на эти темы, но у Спинозы были очень хорошие интуиции, значительно опередившие свое время. Рассмотрим, до чего же он додумался, не имея необходимых для этого инструментов математической логики и даже основ теории множеств.

Соответствующие отрывки на тему этих двух окружностей и природы бесконечных множеств у Спинозы есть в 12-м письме математику Мейеру, в одном из писем Чирнгаузу, в "Принципах философии Декарта" и много геометрических рассуждений о бесконечности есть в "Этике".

Из этого примера Спиноза выводит две свои важнейшие философские идеи. Первая заключается в том, что для познания бесконечности неприменимы человеческие понятия о мере, числе и времени, потому что эти понятия есть плод воображения, которое имеет дело только с конечными вещами. Но бесконечность можно познать интуицией. Вторая же заключается в том, что он все бесконечности разделил на истинные и на "бесконечности в своем роде" (или бесконечные воображения и бесконечные интеллекта, как он тоже их называл; или в другой формулировке бесконечные и бесчисленные - это языковое открытие есть заслуга переводчиков Спинозы на русский язык).

В этой заметке рассмотрим первую идею и оценим ее с помощью использования ежиков в математическом анализе. А вторую идею обсудим в следующей части, тоже с помощью ежиков. И, наконец, будет финальная, третья часть, где рассмотрим разные виды бесконечных подмножеств вещественных чисел.

По Спинозе, интуиция это высшая форма познания, не имеющая ничего общего с воображением. Интуиция это усмотрение сущностей единичных вещей из адекватной идеи природы как целого.

Спиноза разделил понятие о бесконечном на четыре части:

1) Бесконечное множество по своей собственной сущности.

2) Неограниченное множество.

3) Ограниченное, но невыразимое никаким числом.

4) Бесконечное, которое можно вообразить (выразимое числом).

Эти 4 бесконечности у него соответствуют 4 его важнейшим понятиям:

1) Субстанция

2) Модус

3) Вечность

4) Длительность

Субстанция бесконечна в силу своего определения. Всё, что существует, в том числе другие бесконечности - это ее состояния, модусы. Бесконечные модусы в первую очередь характеризуются тем, что они ничем не ограничены. Например. есть конечный модус - конкретное движущееся тело, а есть бесконечный модус движения и покоя вообще, который включает в себя все возможные состояния движения. Такие бесконечности можно абстрактно делить на части и рассматривать уже как что-то конечное. Спиноза говорит про абстрактность такого рассмотрения, имея в виду, что ни из какого конечного числа частей такое собрать нельзя. И, наконец, четвертый вид бесконечности - это что-то, что мы уже можем измерить числом, но оно дробится на бесконечно число бесконечно малых частей.

Чтобы ясно понять, что он имеет в виду, можно привести 4 примера таких бесконечностей среди множеств на плоскости.

Первый вид бесконечности - это вся плоскость сама. Бесконечность и есть ее определение, у нее нет никаких границ.

Второй вид бесконечности - например, часть плоскости, находящаяся выше параболы y = x*x. Она бесконечна в терминологии Спинозы не сама по себе, а в силу того, что она лежит на бесконечной плоскости и не является ограниченной. В этом смысле бесконечность всей плоскости есть причина всех остальных бесконечностей.

Третий вид бесконечности - это как раз его знаменитый пример с двумя окружностями. Спиноза в качестве бесконечного множества рассматривает множество всех отрезков, расположенных между двумя окружностями. Это множество ограничено, но бесконечно.

Четвертый вид бесконечности - любой конечный кусок плоскости. Он может быть выражен числом (площадью).

Что тут можно сказать с современной точки зрения?

Во-первых, видно стремление философа навести какой-то порядок в путаницу понятий, плохо разделяемых в то время между собой.

Во-вторых, видны некоторые идеи, которые легли в основу теории множеств. Более того, Кантор, создавая ее, во многом вдохновлялся текстами Спинозы как раз.

В-третьих, современная теория множеств более логична и можно переосмыслить это всё через неё.

В третьем примере с двумя кругами Спиноза смешивает понятия множества и множества подмножеств. Отрезки на плоскости - это множества точек плоскости, а вот множества таких отрезков - это уже не подмножество плоскости, а подмножества множества подмножеств. Однако, с учетом исторического контекста, можно сказать, что Спиноза открыл путь к тому, чтобы вообще такие вещи различать. Огромное количество путаницы у философов и математиков прошлого были порождены тем, что они не различали части и элементы.

Кроме того, можно заметить, что Спиноза смешивает между собой в понятии величины множества меру и мощность множества. Мера бесконечного множества характеризуется тем, как оно расположено, а мощность (т.е. количество элементов) - соизмеримостью.

Во многих местах у Спинозы проскакивает, что нельзя рассматривать никакое бесконечное множество как сумму бесконечного числа частей, потому что сумма любого числа нулей равна нулю. Из бесконечного числа точек нельзя собрать отрезок, потому что все точки имеют нулевую длину, а отрезок имеет ненулевую длину.

К сожалению, Спиноза не задумался о понятии плотности бесконечности множества и рассматривал только абсолютно плотные (такие как отрезок, например). Но весьма продуктивна и интересна его идея о том, что если мы возьмем бесконечное число точек и будем покрывать ими отрезок, то всё равно отрезок не покроем, т.к. длина этого отрезка больше нуля, в то время как сколько точек не добавляй, их суммарная длина будет всё равно нулевая.

Современный математический анализ куда более тонко и строго различает такие вещи. Во-первых, есть множества счетные, и их нельзя расположить на числовой прямой так, чтобы образовалась какая-то длина. Во-вторых, среди несчетных множеств, есть такие, которые расположены нигде не плотно, и длину они тоже не образуют. В-третьих, помимо несчетных множеств нулевой меры, конечной и бесконечной меры, существуют неизмеримые - об этом Спиноза даже не догадывался. Впрочем, идея о том, что бесконечность больше связана не с понятием границы, а с понятием несоизмеримости с чем-либо, часто повторяется в текстах Спинозы.

Спиноза утверждал, что бесконечное нельзя мыслить ни как бесконечный набор частей, ни как бесконечный набор бесконечных наборов частей, ни как-либо в таком духе. Эта идея может быть отражена в математическом анализе - несчетное множество не может быть представлено как счетное объединение счетных множеств. Хотя, конечно, понимания мощности множества, предложенное Кантором (множества равномощны, если между их элементами можно провести взаимно-однозначное соответствие), у Спинозы ещё не было.

Счетным называют любое множество, которому во взаимно-однозначное соответствие можно поставить множество натуральных чисел, а несчетным - которому нельзя.

Можно привести следующий пример с ежиками из математического анализа, который наверняка поразил бы Спинозу, и который связывает между собой понятия счетности, измеримости, плотности.

Назовем эпсилон-ежиком такого ежика, который может помещаться в одной точке отрезка и съедает все точки, лежащие на некотором отрезке длины эпсилон, серединой которого является точка, в которую этот ежик помещен. Предположим, что у нас также много эпсилон-ежиков (у каждого своя эпсилон), как и рациональных чисел на некотором отрезке. Поместим во все рациональные числа на этом отрезке по эпсилон-ежику. Сожрут ли они весь отрезок?

Поразительный ответ заключается в том, что необязательно. Дело в том, что нужно просто для каждого рационального p/q взять эпсилон, который быстро убывает с ростом числа q. Тогда часть иррациональных чисел не будут съедены ежиками.

Оказывается, разные иррациональные числа приближаются по-разному иррациональными. Об этом, например, курс https://www.mathnet.ru/present9345 .

https://sch57.ru/files/mathcamp/2014/D/10.Approximation/1.pdf

https://old.mccme.ru//dubna//2014/notes/kleptsyn-ex1.pdf

Есть также 3 хороших листка у Мерзона по теме (57 школа). https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/

Отдельный вопрос - может ли сумма эпсилонов у ежиков быть ограниченной? Ответ - да, может. При этом может быть так даже, что эта сумма эпсилонов и бесконечна, но ежики всё равно съели не весь отрезок - просто в этом случае ежики перекрывают друг друга.

Кроме того, если у нас несчетное множество эпсилон-ежиков, то мы можем их разместить только в несчетное число точек, так как все ежики должны сидеть в различных точках. И сумма этих эпсилонов из-за несчетности множества будет всегда бесконечна.

Тогда, во-первых, оказывается, что мы можем их поместить даже так, что полученное множество точек будет нигде не плотным (это значит, что любой интервал на нем содержит подинтервал, целиком свободный от этих ежиков). Тут надо сказать, что множество рациональных чисел всё-таки всюду плотно. Но мало того, можно разместить так, что оно будет несчетным и всюду плотным, но ежики всё равно не съедят всё.

В третьей части заметки я подробно введу все определения и докажу перечисленные утверждения. А пока подумайте над вопросом - каким должно быть множество точек, чтобы при помещении в каждую из его точек эпсилон-ежика все точки отрезка были бы съедены этой бесконечной популяцией ежиков при любом выборе эпсилонов? А почти все точки этого отрезка (например, за исключением множества меры нуль? Те же вопросы можно задать не про выбор точек, а про выбор эпсилон, например, для множества рациональных чисел.

Возможно, покажется, что всё это какие-то очень старые вопросы, давно решенные в основах анализа, но это всё не так. Последний очень значительный результат в подобной ежиковой математике был получен в 2019-м году, когда доказали гипотезу Даффина-Шаффера, которую не могли доказать почти 80 лет усилиями множества математиков. Подробный популярный обзор тут https://habr.com/ru/articles/467591/ . Эта гипотеза устанавливает критерий выбора эпсилонов такой, чтобы ежики могли сожрать почти все точки.

А в следующей, второй части, поговорим о понятии истинной бесконечности, что под ним понимал Спиноза, как его понимал Гегель, как затем это понятие переопределили в марксизме и какую роль оно может играть в современной математике и её осмыслении.

Источник: habr.com

Комментарии: