100 лет Бенуа Мандельброту – первооткрывателю фракталов, изменившему наше восприятие мира

Влияет ли математика на мировоззрение людей? Безусловно! Трудно представить себе цивилизацию, в которой нет математики – нет понятия о числах, об отрезке, об углах, о функции и т. д. Иммануил Кант говорил: «В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики». Без математики физическое описание природы ограничивалось бы описаниями явлений и их очевидных свойств. Без математики не было бы такой продвинутой техники, какая есть сейчас. Без математики не было бы и денег, потому что их нельзя было бы сосчитать. Не было бы много чего ещё.

Современная математика ушла далеко вперёд от того, что изучают в школе. Она стала очень сложной и абстрактной, даже названия математических статей зачастую непонятны выпускникам математических факультетов. Может ли современная математика, несмотря на всю свою сложность, повлиять на мировоззрение простых людей? Да, и хороший пример этого – это фрактал.

Сегодня есть хороший повод поговорить о фракталах, потому что 100 лет назад (20 ноября 1924 года) родился Бенуа Б. Мандельброт – человека, фамилию которого многие первой вспомнят при упоминании слова «фрактал». Если для вас это не так, то ниже вы познакомитесь с фракталами и некоторыми заслугами Мандельброта.

Мандельброт с детства отличался наблюдательностью и пространственным воображением. Освоение новых областей знаний он начинал с того, что рассматривал картинки, полученные при помощи компьютера, и обнаруживал в них загадочные закономерности. Более того, оказывалось, что его выводы имеют отношение не только к математике.

Если в наше время исследователь без раздумий прибегает к компьютерному моделированию, то в 1970-х годах это было большой редкостью. Графические средства были крайне примитивными, а среди математиков был распространено мнение, что полагаться на информацию, полученную из картинок, опасно. Тем не менее, его работы по фракталам быстро завоевали популярность в научном сообществе.

Ключевой работой Мандельброта стала его работа 1975 года "Les objets fractal, forme, hazard et dimension" (фрактальные объекты, форма, случайность и размерность), расширенный вариант которой он опубликовал в виде книги «Фрактальная геометрия природы» в 1982 году. Интересно, что это не типичная книга, а «одно сплошное предисловие» от начала и до конца, как выразился сам автор.

Эту книгу Мандельброт начинает с вопроса: «Почему геометрию так часто называют холодной и сухой? Одна из причин – её неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы – конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовёшь гладкой, а путь молнии – прямолинейным». Рассматривая такие природные объекты на разных масштабах, можно убедиться, что их форма на порядки сложнее «евклидовых» фигур.

Мандельброт говорил: «Все в математике на 100 или 200 лет отказались от идеи о том, что, смотря на рисунки, вы можете найти новые идеи. Так поступали очень давно, в Средние Века, в эпоху Возрождения, в более поздние периоды, но затем математики стали очень абстрактны». Математики занимались теориями, которые не объясняют того, что мы видим и ощущаем. Мандельброт, рискнув ответить на вызов, «задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашёл для неё применение во многих разнообразных областях».

Мандельброт не был первым, кто придумал фрактальные объекты. Такой объект рассматривал ещё Лейбниц в XVII веке, в XIX веке такие объекты изучали Вейерштрасс, Кантор, Пуанкаре и Клейн. Но в те времена для них не было единого термина и общего подхода. Эти объекты зачастую назывались математическими монстрами, так как почти не поддавались анализу.

В процессе покорения этих монстров для Мандельброта стала очевидной необходимость придумать для них новый термин. И за основу он взял латинское причастие «fractus», использовав его смыслы: ломаный, разломанный, фрагментированный, неправильный по форме. А так как слово алгебра произошло от арабского jabara (связывать, соединять), то исходные смыслы этих двух терминов оказались противоположными.

Говоря простыми словами, фракталом называется объект со свойством самоподобия, когда целое имеет ту же форму, что и его части, особенно если такое подобие повторяется бесконечное число раз на разных масштабах. Красивым и впечатляющим примером природного фрактала является кочан капусты романеско (см. фото). А среди абстрактных фракталов одним из наиболее известных является множество Мандельброта, которое он исследовал ещё в 1970-х годах.

Множество Мандельброта основано на очень простой формуле для последовательности комплексных чисел: z[n+1] = z[n] * z[n] + c. Каждую последовательность мы начинаем с нуля (z[0] = 0), и на каждом шаге умножаем число на себя и добавляем константу. Эта последовательность может стремиться к бесконечности или оставаться ограниченной в зависимости от числа «c». Множеством Мандельброта называют множество точек «c», для которых она ограничена. Мы можем изобразить его на плоскости.

Строго говоря, эти изображения должны быть чёрно-белыми (либо точка принадлежит множеству, либо нет). Но были предложены несколько способов окрашивания точек – например, в зависимости от количества итераций, за которое становится очевидным, что точка не принадлежит этому множеству. Разноцветные визуализации этого множества с анимацией приближения к какой-то точке могут стать захватывающим путешествием, демонстрирующим узоры, одновременно повторяющиеся и разнообразные. На YouTube опубликованы десятки (или уже сотни?) подобных анимаций множества Мандельброта (см. приложенное видео). Разве это не удивительно, что настолько сложные и красивые картины можно получить из столь простой формулы?!

В случае с множеством Мандельброта остаётся верным принцип Арнольда: «Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя» (см. также аналогичный закон Стиглера, применимый к самому себе). Это множество впервые было описано французским математиком Пьером Фату в 1905 году, но тот никогда не видел его изображений.

Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для визуализации множества, причём вначале оно изображалось из символов. А математическое исследование этого множества началось с работы математиков Адриана Дуади и Джона Хаббарда, которые установили многие из его фундаментальных свойств. Его определение и название также принадлежат Дуади.

Завершить эту краткую статью хочу цитатой одного из известных поклонников множества Мандельброта, американского ученого и писателя, доктора Клиффа Пиковера: «Фрактал Мандельброта – это молоток, который разбивает лёд нашего бессознательного».

Источник: vk.com

Комментарии: