Сегодня я хочу предложить вам обсудить не столько саму математику, сколько методику её преподавания

Если говорить ещё более конкретно, то речь пойдет о преподавании таких довольно абстрактных дисциплин, как топология всех цветов и сортов, алгебра и т. п. Надеюсь на плодотворное обсуждение с вашей стороны!

Порой в обсуждениях доводится встречаться со следующим, довольно радикальным, мнением, которое достаточно кратко выражается фразой: «Нужно рассуждать с максимально общих позиций, воспринимать определения только так, как они написаны, и никак иначе, без всяческих иных трактовок, а всевозможные картинки и частности уводят от истинных знаний». В принципе, такое мнение имеет право на жизнь. Действительно, мы же не в Древней Греции, наука поднялась на недосягаемый ранее уровень, а на уже известные объекты мы можем смотреть через ту призму, о которой и подумать раньше не могли. Да и если мы говорим о статьях, диссертациях и монографиях, то ни о каких вольностях в рассуждениях или определениях и речи быть не может — всё должно быть четко выверенно и неоспоримо.

А вот нужна ли такая строгость при преподавании? Мне лично кажется, что она не только не нужна, а ещё и вредит, причём по нескольким причинам. Во-первых, мне кажется, что максимально возможная общность без каких-то частных примеров препятствует пониманию материала. Поскольку мне ближе всего динамические системы, то пример возьму оттуда. Есть такое понятие — гиперболическая неподвижная точка. Если вы посмотрите определение, то вряд ли вообще поймете, что это и зачем. Однако в действительности всё сводится к модулю собственных чисел матрицы Якоби отображения. Если есть собственные числа, по модулю равные единице (для дискретных систем), то точка не гиперболическая. Если таких собственных чисел нет, то точка гиперболическая. И в зависимости от величины модуля точка будет либо стоком, либо источником, либо седлом, что понять ещё проще. А уж показать, что такое сток и источник, можно для одномерной системы на диаграмме Кёнигса-Ламерея. И все эти частные примеры очень хорошо помогут в осознании того, что за объекты такие эти гиперболические неподвижные точки, хотя в определении участвуют всякие прямые суммы инвариантных касательных подпространств. Да и понять, чем плохи негиперболические неподвижные точки, эти частные случаи помогут.

Во-вторых, мне видится данный подход неэффективным, поскольку, нагоняя на человека жути максимально общей теорией, мы можем оттолкнуть студента от дисциплины. Тут пример приводить не буду, поскольку, скорее всего, у каждого была подобная ситуация. В-третьих, построив высоченный забор из теории, мы можем в итоге дать человеку довольно скудные практические навыки. Условно говоря, студент будет идеально с точки зрения теории знать, что такое производная, но не сможет вычислить производную от логарифма. Или же в качестве примера можно привести ставшую уже чуть ли не анекдотом историю из статьи В. И. Арнольда, посвященную критике Бурбаки. В ней Владимир Игоревич рассказывает, что на вопрос «Сколько будет 3 + 2?» французский первоклассник ответил «2 + 3, так как сложение коммутативно». Ответ верный? Формально говоря, да. Однако имеет ли он хоть какой-то смысл? На мой субъективный взгляд, нет.

И наконец, мне кажется, при таком абстрактном в квадрате способе преподавания велика вероятность потерять самое главное — суть дисциплины. Это, наверное, самая дискуссионная часть поста, поскольку суть дисциплины есть вещь довольно эфемерная. Да и каждый математик в каждой дисциплине выделит свою суть. Иначе говоря, сколько математиков, столько и «сутей». Однако давайте взглянем на алгебраическую топологию в качестве примера. О чем она вообще? На мой взгляд, центральная идея всей алгебраической топологии следующая. Топологические пространства, многообразия гладкие или нет — довольно сложные объекты, о которых тяжело что-то сказать, имея на вооружении только теорию множеств да математический анализ. Однако исследовать это всё мы хотим. Какой же выход? Попробовать сопоставить топологическим пространствам нечто, что устроено в десятки, если не в сотни раз проще. И в качестве этого нечто мы выбираем группы, которые, пускай и с некоторыми оговорками, исследовать проще. Идея по большому счету довольно простая. Неочевидная, но всё же простая. Смысл же некоторых понятий, вроде фундаментальной группы, достаточно легко пояснить на картинках. Можно взять, например, сферу и тор да показать, что какую бы петлю мы ни накинули на сферу, в итоге её можно будет снять со сферы, а вот с тором так сделать нельзя. Отсюда следует, фундаментальные группы сферы и тора различны, а сфера и тор не гомеоморфны. Пускай с точки зрения математики такое «доказательство» не стоит ничего, однако для понимания даёт очень многое.

А теперь представьте, что алгебраическую топологию мы будем изучать в максимально общем ключе. Вкинули мы какое-то определение, доказали что-то и всё. Зачем все эти фундаментальные группы? Одному их создателю известно. Они просто есть, и мы получаем какие-то результаты и теоремы. Наверное, даже можно сделать из этого какой-то вывод. Только какой — неизвестно.

Источник: vk.com

Комментарии: