«Истинный порядок вещей для меня – загадка. А для тебя?»

(с)Чеширский кот из AMAlice

В процессе изучения высшей математики мы знакомимся с кучей объектов: векторами, матрицами, функциями, функционалами и т.д. Оказывается, что у них много общего с привычными нам со школы числами: мы можем их складывать, умножать, говорить о расстоянии между ними и об образованных ими пространствах, кольцах, группах. Какого же ещё важного свойства им всем не хватает? Что вынуждает нас для работы с ними снова звать на помощь действительные числа? Ответ – упорядоченность. Только вещественная прямая (с точностью до изоморфизма) обладает этим свойством изначально и естественно. Поэтому нам нужны числа, чтобы сделать пространство метрическим, ввести важные понятия сходимости и непрерывности.

Но в разное время (Буль, Дедекинд) возникали идеи о том, чтобы снабдить отношением порядка и другие пространства. Леонид Витальевич Канторович посчитал, что для развития только недавно зародившегося и активно развивающегося функционального анализа это необходимо сделать для линейных пространств. В 1935 году он опубликовал первую заметку на эту тему, с которой началась его долгая работа над новой теорией, подхваченная многими учениками.

Каким же образом упорядочивать, к примеру, двумерные векторы? Мы знаем, что между плоскостью и прямой существует по крайней мере одна биекция. В принципе можно было бы задать порядок образов-векторов, перенеся его с прообразов-чисел. Неоднозначно, невообразимо, неестественно, бесполезно… Лучшим выходом из ситуации оказалось убрать требование полной упорядоченности. То есть не каждую пару элементов должно быть можно сравнить между собой, но хотя бы некоторые. С заданием частичного порядка уже проще: интуитивно хочется сравнивать векторы покомпонентно (считать, что один не превосходит другой, если все его координаты не превосходят соответствующих координат второго), а функции – поточечно. (Советую попробовать «отключить» в голове привычное понимание окрестности, опирающееся на норму, и осмыслить его через неравенства, которые мы сейчас определили. Мозги поначалу скрипят?)

Но Канторович не рассматривал каждое пространство по отдельности, а построил общие правила для произвольных линейных пространств, которые назвал полуупорядоченными, или К-пространствами, а потом распространял их на частные случаи. Ознакомиться с основными их атрибутами и свойствами будет под силу студенту, скажем, второго курса, а может и первого. Линейное пространство с нейтральным элементом по сложению 0, определённым умножением на вещественные числа и отношением частичного порядка называется К-пространством, если выполнены пять аксиом:

I. Соотношение x > 0 исключает x = 0

II. Если x > 0 и y > 0, то x + y > 0

III. Для любого x существует y >= 0 такой что y>=x

IV. Если x > 0 и число a>0, то ax>0

V. Для всякого ограниченного сверху множества существует (точная)верхняя грань.

Из них выводится влияние арифметических операций на неравенства, добавляются понятие модуля элемента (похоже на представление модуля функции через сумму положительной и отрицательной частей), новые понятия дизъюнктности и соединения элементов, сходимость (через равенство верхнего и нижнего пределов).

Эта идея имеет как теоретическую ценность, так и практические приложения. В частности, Леонид Витальевич всегда видел большой потенциал для применения К-пространств в экономике. Вот что нам даёт введение порядка:

1. Обращение с отображениями в векторные пространства как с функционалами с сохранением известных для них результатов. В частности, верна теорема Хана-Банаха-Канторовича о мажорированном продолжении линейных функционалов (уже в обобщённом смысле).

Вопрос о том, до какой степени справедлив этот «принцип переноса» для К-пространств, всегда был одним из главных во всей теории.

2. Обобщение нормы: можно определить её не только как число, но и как другие элементы векторных пространств. «Такая нормировка объектов является гораздо более точной. Скажем, функция нормируется не своим максимумом на всем интервале, а десятком чисел — максимумами её на частях этого интервала».

3. Усовершенствование метода мажорант решения функциональных уравнений. «При доказательстве существования решения различных классов функциональных уравнений в анализе весьма часто применяется способ последовательных приближений; при этом доказательство сходимости этих приближений основывается на том, что данное уравнение может быть мажорировано некоторым уравнением простого вида. Такого рода доказательства встречаются в теории бесконечных систем линейных уравнений и в теории интегральных и дифференциальных уравнений. Рассмотрение полуупорядоченных пространств и операций в них позволяет с большой лёгкостью развить в абстрактной форме полную теорию функциональных уравнений упомянутого вида».

4. Связь с гипотезой континуума. «Ключевую идею, лежащую в основе решения континуум-проблемы, можно осмыслить как поиск обобщённых чисел специального вида, после чего решение проблемы сводится к построению специфического мира множеств – универсума. Более того, в этом универсуме имеются не только обобщённые числа, но и обобщённые математические объекты любой природы, столь же специфические, как и обобщённые числа. Указанное обстоятельство (более выразительно, но менее точно) можно высказать следующим образом: в некоторых К-пространствах, элементы которых рассматриваются как обобщённые числа, нарушается гипотеза континуума. Такая внутренняя взаимосвязь концепции К-пространства с проблемой континуума представляется весьма примечательной».

Теория полуупорядоченных пространств очаровывает масштабностью абстракции, оставаясь в то же время доступной для понимания, и является одним из самых примечательных и красивых достижений математиков прошлого века. Очень рекомендую подробнее с ней познакомиться!

Источники: Л.В. Канторович, Б.З.Вулих, А.Г. Пинскер. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.

А.Г. Кусарёв, С.С. Кутателадзе. Числа и пространства Канторовича

Источник: vk.com

Комментарии: