Вся геометрия в школе строится на постулатах Эвклида

ВОПРОС. Вся геометрия в школе строится на постулатах Эвклида. Замечателен пятый, недоказуемый, вследствие его не всегда истинности (на современном уровне развития математики). Как ответить ученику (который знает, что не всегда постулат работает), что все наши последующие рассуждения верны? Да мне самой надо понимать, логично ли и законно ли это? Много внутренних противоречий

ОТВЕТ. Небольшое уточнение. Любой постулат недоказуем, не только пятый. А школьная геометрия не строится в точности на постулатах Эвклида. Аксиоматика, предложенная в книгах Атанасяна или Погорелова, отличается как от античной, так и от гильбертовой. Хотя, конечно, многие учебники содержат аксиомы, сформулированные еще Эвклидом.

Самое главное — нужно разобраться, что такое аксиомы. Они не делятся на истинные или неистинные, не требуют доказательств, а их выбор — договоренность, обусловленная целями курса. Полезно почитать книгу Калинина и Терешина (Геометрия, 10-11), там есть предварительное напутствие об аксиоматике.

Вы где-нибудь в нашем мире видели идеальную точку? Идеально ровную плоскость, не имеющую «толщины»? Может, отрезок, длина которого 10^(1000000) световых лет? Идеальные модели не отражают в точности реальный мир. На этот счет поучителен курс физики: в нем модели возникают повсеместно, и часто сам ученик должен правильно понять, чем можно пренебречь.

Пятый постулат в этом смысле не сильно отличается от других. Уникальность в том, что его можно заменить на отрицание и получить непротиворечивую геометрию. Но это не только не проблема (если ученик спросит), а отличный повод рассказать о неэвклидовых геометриях, аксиоматике и о математике как науке; о том, что в космических масштабах геометрия Римана играет важную роль.

Резюмируя, аксиомы — заведомо истинные утверждения, правила игры. Теоремы, выведенные из аксиом, верны. Отражают ли они в точности реальный физический мир? Нет, хотя во многом их выбор в школьном курсе обусловлен нашим восприятием природы. Эвклид, Лобачевский, Клейн, Гильберт и Гёдель — красавцы.

Источник: vk.com

Комментарии: