О смысле алгебры и геометрии. Часть 2, срывающая все шаблоны

Сегодня вы узнаете о том, что такое алгебры Клиффорда и супералгебры, что такое суперсимметрия и какие есть ещё симметрии в алгебрах Клиффорда.

При этом самое сложное, что нужно будет понять - это теорему о том, что композиция осевых симметрий относительно двух пересекающихся осей является поворотом в плоскости этих осей от первой оси ко второй на угол, который в 2 раза больше угла между осями. Из этой теоремы вытекает на самом деле вот это вот всё.

Чтобы разобраться, можете посмотреть это в интернете, например в журнале Квант или у Савватеева https://www.youtube.com/watch?v=-JNqXxmgHLM&list=PLqBfxn8OBMGrsA_YynaQWqHKhL7kEvL4X&index=31 , или в материалах по теореме Шаля (прикрепил).

Итак, поняв эту теорему можно двинуться дальше. Основная идея алгебр Клиффорда заключается в том, чтобы каждому геометрическому элементу сопоставить в соответствие какое-то преобразование пространства. Это позволит сделать как все преобразования над геометрическими элементами, так и сами геометрические элементы - элементами одной и той же алгебры.

Примечательной особенностью алгебр Клиффорда является то, что сделать такое сопоставление можно не только бесконечным количеством способов, но и одновременно в самых различных геометриях: геометрия преобразований пространства с одной неподвижной точкой, проективная геометрия, геометрия всех возможных видов движений в многомерном пространстве, исчисление геометрии движений на поверхностях с постоянной кривизной (сферы, параболоиды, гиперболоиды и их обобщения) и так далее. В существующих вузовских учебных курсах для всего этого, во-первых, используются совершенно разные формулы, а не абсолютно одинаковые, как в алгебрах Клиффорда (поэтому, например, теорему Шаля отдельно доказывают в трех разных геометриях, хотя это один и тот же геометрический факт, не зависящий от типа геометрии, содержание и смысл которого лекторы тщательно скрывают). Во-вторых, это изложение требует изучения линейной алгебры, дифференциальных форм и тензорного исчисления, которые во много раз абстрактнее и сложнее алгебр Клиффорда. В-третьих, используемые подходы всё равно крайне не эффективны - выводить формулы так невероятно сложно, плюс к тому же полученные способы вычисления являются совершенно не оптимальными по сравнению с формулами геометрической алгебры.

Давайте сейчас выведем алгебру Клиффорда для преобразований двумерного евклидова пространства с неподвижной точкой. Для этого сначала нужно понять, какое геометрическое преобразование, которое при повторном применении возвращает всё в исходное положение, можно отождествить с единичным вектором. Логичнее всего - осевую симметрию относительно этого вектора.

Назовём тогда единичный вектор вдоль оси Ox Е1, а вдоль оси Oy - Е2. Теперь нужно придумать способ, с помощью которого мы будем делать это преобразование.

Пусть у нас есть вектор R = a*E1 + b*E2. В результате действия на него вектора E1 он должен превратиться в R1 = a*E1 - b*E2, а в результате действия вектора E2: в R2 = - a*E1 + b*E2. Попробуем, например, умножить на E1: E1*R = a + b*E1*E2.

Что это такое - пока что непонятно. Тут нет векторной части. Есть число и бивектор. Тут можно сказать, что E1*E1 должно быть равно 1, потому что квадрат E1 соответствует отсутствию изменения, а это реализуется с помощью числа 1. Так как нам нужно получить умножение a на Е1, то умножим это выражение справа на E1

R1 = a*E1 + b*E1*E2*E1 = a*E1 - b*E2

Нетрудно видеть, что мы получили E1*E2 = - E2*E1.

Такие произведения обычно просто обозначают двумя индексами и называют бивекторами. E1*E2 = E12.

Можно обратить внимание на то, что E12*E12 = -1.

Итак, чтобы реализовать действие, соответствующее геометрическому элементу, нужно умножить на него слева и справа. Правда, если элемент выше первого ранга, базисные векторы в нем следует переставлять:

r' = E2*E1*r*E1*E2 = E12*r*E12

Если это не делать, то теряется смысл умножения как композиции.

Важно заметить, что это правило может давать одно и то же преобразование для разных геометрических элементов. Если быть точнее: любому преобразованию соответствуют два геометрических элемента, которые отличаются друг от друга умножением на минус 1. В алгебрах большей размерности, чем 2, дублирование возникает также за счет двойственности - например, поворот e12 на 180 градусов в плоскости Oxy совпадает с осевой симметрией e3 относительно оси Oz. На самом деле это разные преобразования, просто то, что они делают - имеет одинаковый результат.

В двумерной алгебре Клиффорда векторы E1 и E2 называют генераторами алгебры, множество {1, E1, E2, E12} - базисом алгебры, а элемент, равный произведению всех генераторов - мнимой единицей (I = E12 в случае двумерной алгебры Клиффорда).

Числа называются элементами нулевого ранга, векторы - первого ранга, произведения двух векторов - второго ранга, и так далее. Разделение базисных элементов алгебры Клиффорда на ранги - градуировкой алгебры, а сама алгебра - градуированной.

Супералгеброй называется алгебра, включающая как отношения коммутации (AB-BA), так и антикоммутации (АВ+BA) таким образом, что все элементы могут быть разделены на 2 класса (четные и нечетные), коммутатор любых двух четных или двух нечетных элементов лежит в четном классе, коммутатор четного и нечетного - в нечетном классе, а антикоммутатор двух нечетных или двух четных - четный. Попробуйте сами доказать, что алгебра Клиффорда является супералгеброй, используя это определение.

В 20-м веке выяснилось, что все элементарные частицы соответствуют элементам алгебр Клиффорда. Главную роль строительного материала всего при этом играет трехмерная алгебра с генераторами e1, e2, e3 и базисом {1, e1, e2, e3, e12, e23, e31, e123}. Её генераторы соответствуют кваркам.

Эта трехмерная алгебра успешно описывает как проективную геометрию и произвольные движения и аффинные преобразования на плоскости, так и произвольные аффинные преобразования с одной неподвижной точкой в пространстве.

На первом рисунке - сборки элементарных частиц из трех кварков, на втором - схема цветового пространства кварков, которое состоит из красного, зеленого, синего цветов, а также антикрасного, антизеленого и антисинего. Симметрии этого пространства описываются группой вращения трехмерного комплексного пространства SU(3).

Во всех алгебрах Клиффорда присутствует двойственность Понселе - она заключается в том, что при замене всех мультивекторов размера k на мультивекторы размера N-k ничего не изменяется. Например, в трехмерной проективной геометрии любой теореме, в которой используются точки и плоскости, после замены точек на плоскости и плоскостей на точки - получается истинная теорема.

В случае описания вращений в пространстве это можно понимать так, что каждому вращению однозначно соответствует как плоскость вращения, так и ось вращения. Или, например, в случае проективной геометрии на плоскости дуальностью по отношению друг к другу обладают прямые и точки.

Кроме того, во всех алгебрах Клиффорда присутствует изоморфизм между её четной и нечетной подалгебрами (элементами четного и нечетного ранга соответственно). Этот изоморфизм в физике соответствует суперсимметрии, потому что элементы четного ранга превращают одни элементы нечетного ранга в другие, и поэтому играют роль взаимодействий.

А в физическом мире двойственность Понселе реализует существование суперсимметрии между веществом и взаимодействием, потому что фермионам соответствуют мультивекторы нечетного ранга, а бозонам - четного ранга.

Ещё одной особенностью алгебр Клиффорда является также то, что четные элементы алгебры (n+1)-го порядка образуют подалгебру, которая изоморфна всей алгебре Клиффорда порядка n, в которой вместо положительного квадрата элемента базисного вектора взят отрицательный.

Поэтому, например, группа поворотов трехмерного пространства может быть описана как элементами {1, e12, e13, e31} в алгебре Клиффорда с положительным квадратом (e1*e1 = e2*e2 = e3*e3 = 1), так и элементами {1, e1, e2, e12} с отрицательным квадратом (e1*e1 = e2*e2 = e12*e12 = -1). И то, и другое - реализует кватернионы для трехмерного пространства.

По этой причине алгебры Клиффорда с квадратами элементов, отличными от 1, можно было бы отдельно не рассматривать, так как они просто являются подалгебрами алгебр Клиффорда более высоких порядков. Однако, к примеру, в физике часто используют АК с сигнатурой +++-.

Кроме того, существуют алгебры Клиффорда с нулевыми квадратами элементов, но они и вовсе редко рассматриваются. И они тоже могут быть собраны из элементов алгебры Клиффорда с положительными квадратами. Например, (e1 + e12)*(e1+e12) = 1 + e1*e12 + e12*e1 + e12*e12 = 1 + 0 - 1 = 0.

https://habr.com/ru/articles/542030/ рекомендую эту статью и ссылки на литературу внизу неё.

В физике элементарных частиц для описания автоморфизмов алгебры Клиффорда, описывающих взаимодействия, используют группы вращений.

Стандартная модель - описывает превращения всех частиц друг в друга через элементы группы SU(3) ? SU(2) ? U(1), причем SU(2) - это группа вращений двумерного комплексного пространства, SU(3) - трехмерного, U(1) - группа поворотов на плоскости. Эти вращения переводят соседние частицы друг в друга, а также являются группой симметрии - при повороте всех частиц одновременно ничего не изменяется с физической точки зрения. Физическим смыслом обладают только их взаимоотношения.

Эти группы вращений могут быть также описаны через четные подалгебры алгебр Клиффорда, но в науке сложилось использовать группы.

Итак, нам осталось разобрать лишь последнее - как задавать повороты вокруг начала координат в алгебре Клиффорда на плоскости. Мы пришли к тому, что e12 соответствует композиции двух отражений относительно координатных осей, а значит это центральная симметрия, или, что то же самое на плоскости - поворот на 180 градусов.

Чтобы получить поворот на другой угол, надо второе отражение делать не E2, а, например, некоторым вектором a*E1+b*E2. Итак, получаем

R' = (a*E1+b*E2)*E1*R*E1*(a*E1+b*E2) = (a - b*E12)*R*(a + b*E12).

Число a коммутирует с вектором R, мнимая единица E12 антикоммутирует. Используя это обстоятельство, можно записать формулу также в виде

R' = (a - b*E12)^2 * R = (a^2 - b^2 - 2ab*E12)*R

Если обозначить cos(f) = a^2 - b^2 , sin(f) = -2ab, то мы получаем известную формулу поворота, задаваемую с помощью комплексных чисел

R' = (cos(f) + sin(f)*E12)*R

В случае, если размерность пространства больше двух, то такого упрощения не получится, так как E12 коммутирует с E3, а не антикоммутирует с ним, как с E1 и E2. Однако поворот задается точно таким же бивектором, и формулы все рассчитываются по тем же правилам: R' = (cos(f/2) - sin(f/2)*E12)*R*(cos(f/2) + sin(f/2)*E12).

Отдельно можно сказать о матричном представлении этой алгебры Клиффорда. Элементам e1 и e2 соответствуют матрицы, которые реализуют отражение на плоскости относительно любых двух осей, между которыми угол равен 45 градусов. А e12 - соответствует матрица поворота на 90 градусов. Например, можно использовать такие матрицы

1 -> ( (1;0) , (0; 1))

e1 -> ( (1;0) , (0; -1))

e2 -> ( (0;1) , (1; 0))

e12 = e1*e2 -> ( (0;-1) , (1; 0))

Впервые для трехмерного пространства такую конструкцию открыл Гамильтон и назвал её кватернионом, но в алгебре Клиффорда в пространствах большей размерности она ничем не отличается.

Три мнимые единицы Гамильтона - это E12, E23 и E31. Они дуальны векторам E3, E1, E2 соответственно, поэтому кватернион часто рассматривают как некий "вектор" со скалярной частью.

Кроме того, в трехмерной алгебре Клиффорда E12 = I*E3, E23 = I*E1, E31 = I*E2 (можете легко доказать это самостоятельно). Это позволяет рассматривать кватернион как особое обобщение комплексных чисел, так как он тогда разделяется на вещественную и мнимую части. Более того, в целях удобства, кватернионы часто именно так и задают. Например, Q = cos(f/2)*s0 + sin(f/2)*(s1x + s2y + s3z), где (x,y,z) - единичный вектор направления, а s0, s1, s2, s3 - матрицы Паули, о которых мы поговорим в следующий раз.

Итак, мы разобрали, как вращать и отражать двумерное пространство с помощью алгебр Клиффорда (а растягивать и сжимать можно, домножив на вещественное число ту же самую конструкцию). Показали, что это легко обобщается на пространство любой размерности. Можно также обратить внимание, что появляются многомерные аналоги вращений, не похожие на обычные вращения. Например, вращения вокруг 3-мерной гиперплоскости, 4-мерной и так далее - это всё тоже легко описывается алгебрами Клиффорда.

В следующей, третьей части, мы разберем, как с помощью трехмерной алгебры Клиффорда задавать произвольные движения и аффинные преобразования на плоскости, используя проективную геометрию, и с помощью неё же - выводить все формулы и теоремы сферической геометрии, складывать геодезические на поверхности шара.

Источник: habr.com

Комментарии: