О смысле алгебры и геометрии

О смысле алгебры и геометрии. Часть 3. О многочисленных применениях трехмерной алгебры Клиффорда. Раздел второй. Использование АК на проективной плоскости и в проективной геометрии.

Если вы хотите хорошо разобраться во всём этом, то проделайте проверку и вывод всех приведенных ниже формул самостоятельно - это лучший способ.

Рассмотрим евклидово пространство с отмеченной точкой (начало координат). Проективной плоскостью называется множество всех прямых, проходящих через отмеченную точку. Эти прямые получают новое имя: теперь они будут называться проективными точками, проективной же прямой мы назовем евклидову плоскость, тоже проходящую через отмеченную точку.

Удобнее всего исследовать такую геометрию в виде модели проективной плоскости как расширенной плоскости. Чтобы понять, что это такое, проведем все возможные прямые из начала координат и построим плоскость, задаваемую уравнением Z = 1.

Каждой такой прямой, задаваемой направляющим вектором (a; b; c), будет соответствовать ровно одна точка этой плоскости с координатами (a/c; b/c; 1). Если же c = 0, то ей соответствует точка, называемая идеальной точкой. Каждые две точки на этой плоскости соответствуют прямой на расширенной плоскости, однако если одна из этих точек идеальная, то такую прямую нельзя провести на плоскости. Назовем такую прямую идеальной прямой.

Далее полагают, что параллельные прямые имеют одну общую бесконечно удаленную точку; соответственно этому систему параллельных прямых, расположенных в одной плоскости, называют пучком с бесконечно удаленным центром. Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости называют ее бесконечно удаленной прямой.

Для описания такой геометрии можно использовать геометрическую алгебру с базисом {1, e0, e1, e2, e01, e20, e12, e123}. Вообще говоря, можно использовать разные виды соответствия и разные обозначения, но мы здесь будем использовать один фиксированный.

Прямые расширенной плоскости в этой алгебре представляются как векторы, а точки — как бивекторы (опять же, можно наоборот - от этого не изменится ничего, но нам нужно выбрать один способ):

Прямая a*x+b*y+c = 0 описывается a*e1 + b*e2 + c*e0.

Точка с однородными координатами (a:b:c): a*e20 + b*e01 + c*e12

Введем новый вид произведения, называемый внешним:

ei^ej = -ej^ei, ei^ei = 0

Оно в общем случае не совпадает с геометрическим произведением, которое мы раньше рассматривали, но в случае перемножения различных базисных векторов верно равенство: ei^ej = eij = ei*ej. Будем им пользоваться в дальнейшем, чтобы вместо ei^ej писать eij.

Можно увидеть, что уравнение a*x+b*y+c = 0 получается внешним перемножением прямой a*e1 + b*e2 + c*e0 на точку x*e20 + y*e01 + e12

(a*x + b*y + c)*e123 = 0

Внешнее произведение нужно в первую очередь для того, чтобы приравнивать к нулю внешние произведения линейно зависимых векторов. Например, нетрудно видеть, что

r1 ^ r2 ^ (a*r1 + b*r2) = 0

Что будет, если прямую умножить на точку внешним образом?

( a*e1 + b*e2 + c*e0)^ (a1*e20 + b1*e01 +c1*e12) = (a*a1 + b*b1 + c*c1)*e012

Выходит, что это выражение равно нулю тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой.

Однако мы уже выяснили, что внешнее произведение трех линейно зависимых векторов дает ноль. Таким образом, выходит, что произведение трех точек равно нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой. Однако внешнее произведение двух точек дает уравнение некоторой прямой - следовательно, это и есть прямая, которая проходит через две точки.

Совершенно аналогично внешнее произведение двух прямых дает точку, по которой они обе пересекаются. Итак, мы получили результат, называемый двойственностью в проективной геометрии, потому что выходит, что прямые, точки и их пересечения описываются ровно одними и теми же формулами. С тем же успехом можно точки описывать векторами, а прямые - бивекторами, было бы то же самое.

На первой прикрепленной картинке описание этой двойственности из учебника по проективной геометрии.

Коэффициенты, которые получаются при базисных векторах в результате внешнего перемножения, называются определителями. Это название означает, что величина определяет, является ли набор векторов, которые в неё входят - линейно независимым. Если она равна нулю, то является.

У определителя и внешнего произведения соответственно есть другая интерпретация - величина ориентированной площади. Геометрическая интерпретация ориентированных площадей при решении системы уравнений носит название формул Крамера (вторая картинка).

Полученный нами результат без всякого изменения переносится на проективную геометрию и расширенную гиперплоскость любой размерности. Например, внешнее произведение плоскостей даст уравнение прямой, так как плоскости пересекаются по прямой.

Кроме того, из этого мы видим удобство обозначения, принятого нами. Дело в том, что в N-мерном расширенном пространстве однородные координаты точек получаются при произведении N гиперплоскостей размерности N-1. И тогда проективная двойственность имеет ровно тот же самый смысл, что и двойственность в алгебре Клиффорда.

Введем теперь внутреннее произведение векторов - точно также, через его свойства и таблицу умножения базисных векторов:

ei*ej = ej*ei = 0 , если i не равно j, и 1 - в противном случае.

Видно, что для произведения произвольных векторов первого ранга геометрическое произведение просто равно сумме внешнего и внутреннего произведений. Если мы перемножаем 2 вектора ранга больше 1, то эта формула в общем случае будет неверна. Оказывается, что в таком случае внешнее произведение - это слагаемое в геометрическом произведении с наибольшим рангом, а внутреннее - слагаемое в геометрическом произведении с наименьшим рангом. Помимо этих двух, там могут быть слагаемые промежуточного ранга.

Если две прямые ортогональны, то их внутреннее произведение = 0.

Внутреннее произведение точки на прямую дает уравнение прямой, которая проходит через эту точку перпендикулярно данной прямой. Такую прямую в проективной геометрии часто называют "проекцией прямой на точку". Если эту прямую ещё раз внутреннее перемножить на ту же самую точку, то получится прямая, параллельная исходной. Такая прямая называется "антипроекцией прямой на точку".

Все эти преобразования показаны на третьей картинке.

Аналогичным образом можно получить все остальные операции.

На следующей картинке черточки означают сопряжение, то есть просто перестановку порядка базисных векторов во всех произведениях.

Вспомним, что преобразование, делаемое вектором e1, у нас описывалось как e1*r*e1, а если сначала e2, а потом e1, то это элемент e12 и описывалось как e12*r*e21. Легко видеть также, что для этой операции сопряжение (обозначим буквой S) работает формула: S(x*y) = S(y)*S(x).

Картинки взяты отсюда https://dzen.ru/a/ZZdIaoZaWR2LoAuD - в статье там есть 3 ошибки. Первая заключается в том, что неверно написан один из базисных векторов (e02 вместо правильного e20). Вторая - исправлена на четвертой картинке. Третья ошибка связана с тем, что для алгебры Клиффорда указана сигнатура (++-), в то время как там используется обычная (+++), что важно для внутреннего произведения.

Кроме того, там пишут про "регрессивное произведение двух точек" - эта терминология не используется и может запутать. Имеется в виду обычное внешнее произведение двух точек.

В качестве упражнения читателю предлагается сравнить эти формулы с формулами векторной геометрии. Даже в случае плоскости они выглядят проще и естественнее, а в случае многомерных пространств векторная геометрия не выглядит сколько-нибудь разумной альтернативой, так как формулы векторной геометрии становятся всё сложнее, а формулы, получаемые из алгебр Клиффорда - имеют одинаковый вид в пространствах любой размерности, и потому легко обобщаются.

На основе математики, которая здесь описана, работает обработка изображений и сигналов с помощью алгебры Клиффорда. Помимо этого, в алгебрах Клиффорда существует обобщение преобразования Фурье, в котором вместо мнимой экспоненты - экспонента от элементов алгебры Клиффорда. В книге "Является ли мозг компьютером, работающим на алгебрах Клиффорда" разобрано такое преобразование Фурье-Клиффорда, и методы обработки визуальной информации на основе алгебр Клиффорда с помощью компьютера.

Основная идея обработки изображений на основе алгебр Клиффорда заключается в том, что с помощью них очень удобно находить инварианты изображений, которые не меняются при геометрических преобразованиях проективного пространства, такие как сдвиги, повороты, растяжения-сжатия, отражения, проектирования.

В следующей, четвертой части, мы поговорим об истории алгебр Клиффорда, как именно вывел кватернионы Гамильтон, как всё выводил сам Клиффорд, и как алгебры Клиффорда связаны с историей уравнений Максвелла.

Источник: dzen.ru

Комментарии: