Ноль — это натуральное число?

Иногда в социальных сетях мне попадаются иностранные учебники в электронном формате, и я их с интересом изучаю.

Недавно просматривал один из французских учебников и с удивлением для себя обнаружил, что в нём число 0 считается натуральным!

А в другом (американском) учебнике я встретился с непривычным изложением темы «квадратные корни». В этом учебнике большое внимание уделялось изучению именно квадратных корней (КК), а не арифметических квадратных корней (АКК).

Например, там были задания в духе «напишите все возможные значения, которым может быть равно выражение КК(1) + КК(4)». Причём в ключах в конце учебника был дан такой ответ: –3, –1, 1, 3.

Нам, людям получившим российское или советское математическое образование, такие отличия могут показаться большой глупостью, потому что это непривычно, потому что нас учили не так.

Нам с начальной школы внушали, что число 0 не является натуральным. Но это полуправда. Более близкая к правде формулировка такая: «в российских учебниках договариваются считать, что число 0 — ненатуральное».

Чувствуете разницу между глаголами «является» и «считается»?

Я хочу сказать, что вопрос про «натуральность» нуля – это не вопрос истины, это вопрос договоренностей. Всякое определение — это договорённость. И знать определения нужно не для того, чтобы «выучить истину», а для того, чтобы было комфортнее общаться друг с другом, чтобы короче и удобнее излагать свои мысли и рассуждения.

Ещё хочу пару слов написать про корни, а точнее про термины квадратный корень (КК) и арифметический квадратный корень (АКК). В школе ученикам сначала рассказывают, чем АКК отличается от КК, договариваются знаком радикала (?) обозначать именно АКК, а потом говорят детям: «слово "арифметический" мы будем опускать и вместо АКК говорить просто КК, но подразумевать именно АКК».

А почему мы будем опускать слово «арифметический»? Наверное, потому что нам, учителям и репетиторам, просто лень такое длинное слово каждый раз проговаривать. А что в итоге остаётся в голове у детей? Каша! Путаница!

К слову, в англоязычной Википедии отмечено, что вместо «principal square root» часто говорят «square root», опуская слово «principal». То есть это не только проблема русского языка.

А потом мы удивляемся, почему тема «корни» (достаточно простая и естественная для восприятия) у некоторых детей вызывает большие трудности. Может от того, что это мы, взрослые, путаем детей? И путаем мы их ради собственного удобства, потому что слово «арифметический» проговаривать не хотим.

Я, будучи продуктом российской школы, тоже по привычке опускаю слово «арифметический», но стараюсь эту привычку искоренить. Возможно, следует использовать аббревиатуру АКК? Ведь аббревиатуру ОДЗ мы почему-то используем.

В общем, знакомство с иностранными учебниками помогло мне по-новому взглянуть на математику и на её преподавание. В частности, я ещё глубже осознал, прочувствовал, что определения в математике — это именно договорённости. И от этих договорённостей зависит, считаем ли мы какие-то утверждения истинными или ложными.

Теперь если ученик спрашивает меня, является ли число 0 натуральным, то я отвечаю, что в России (и на российских экзаменах), число 0 не считают натуральным. Но это лишь вопрос договорённости: в других странах число 0 может считаться натуральным. Более того, можно привести аргументы как в пользу точки зрения «0 — это натуральное число», так и в пользу противоположной точки зрения.

По моим наблюдениям, подобные терминологические обсуждения с учениками пробуждают в них горячий интерес к предмету и помогают им запомнить ответ на заданный ими вопрос.

Конечно, есть риск запутать учеников, открывая им правду, что в разных учебниках могут быть разные определения. Но я почти всегда иду на этот риск на своих индивидуальных репетиторских занятиях и иду на него осознанно.

А ещё я считаю, что такие обсуждения взращивают в учениках идею о договорённостях, идею о том, что для обсуждения какого-то вопроса (не обязательно математического) полезно сначала договориться о терминах, которые мы используем в устной речи и в письменной речи, чтобы двусмысленностей и домыслов стало меньше.

Кстати, старые учебники тоже полезно изучать, потому что можно проследить эволюцию математического языка (устного и письменного) и математических обозначений.

Например, в старом учебнике Макарычева вместо термина «подкоренное выражение» использовался термин «подкоренное число». Мне кажется, современный термин «подкоренное выражение» более удачный и точный.

Есть термины, которые ещё только проходят процесс становления, то есть ещё не являются устоявшимися, но уже присутствуют в современных учебниках.

Например, в данный момент термин «область допустимых значений уравнения» постепенно выталкивается, заменяется новым термином — термином «область определения уравнения». Не знаю, приживётся ли этот новый термин, но я, кажется, понимаю замысел авторов учебников, которые этот новый термин продвигают.

Во-первых, термин ОДЗ удобно оставить только для выражений, чтобы не уточнять каждый раз, про какую именно ОДЗ идёт речь: «ОДЗ выражения», «ОДЗ уравнения» или «ОДЗ неравенства».

Строго говоря, все эти три термина разные (хотя и очень похожие), поэтому фраза «найдём ОДЗ», вообще говоря, неточная. И, быть может, именно из-за этой неточности дети частенько путаются, допускают ошибки. Потому что термин ОДЗ не существует в вакууме, он как бы привязан к терминам «выражение», «уравнение», «неравенство».

Во-вторых, любое уравнение и любое неравенство можно рассматривать как предикат, то есть как логическую функцию, значение которой — либо «истина», либо «ложь». А потому кажется естественным использовать термин «область определения уравнения» по аналогии с термином «область определения функции», ведь всякое уравнение можно рассматривать как логическую функцию.

Вообще в момент, когда мы задаёмся вопросом, какое определение следует выбрать (например, «французское» определение натурального числа или «российское»), мы переходим из математики в философию математики.

Мне кажется, именно в этой сфере (в философии математики) очень много шарлатанов (невежд, выдающих себя за знатоков) и верхоглядов (людей, поверхностно ознакомленных с предметом обсуждения).

Часто в комментариях к постам в разных математических сообществах мне встречаются высказывания шарлатанов и верхоглядов. Я не всегда могу пройти мимо таких комментариев и иногда ввязываюсь в полемику.

Зачастую мои оппоненты не знакомы даже с содержанием школьных учебников и придумывают собственные определения или наделяют устоявшиеся математические термины каким-то своим смыслом, противоречащим тому, что написано в учебниках.

Возможно, я старомоден, но мне кажется, что прежде, чем заниматься философией математики, нужно сначала глубоко познакомиться с математикой. По крайней мере, нужно знать и понимать определения из школьных учебников и осознавать, что определения из разных учебников могут различаться.

Например, в учебнике Атанасяна скалярным произведением векторов называют одно, а в учебнике Погорелова — другое. Эти определения являются разными, но эквивалентными. И эквивалентность этих определений требует доказательства.

Кстати, в ВУЗе при изучении темы «определение предела функции в точке» намеренно рассматривают два разных, но эквивалентных определения: определение по Коши и по Гейне. Эквивалентность этих определений доказывают. А ещё обсуждают, почему оба определения «присутствуют» в матанализе и почему нельзя оставить какое-то одно определение и исключить другое.

Потому что одно определение удобно использовать в одних ситуациях, а другое определение — в других. То есть удобство решения задач перевешивает неудобство необходимости знать два эквивалентных опреления.

P. S.

Этот пост я подготовил к публикации примерно полгода назад и долго не решался его опубликовать

Во-первых, обе темы, затронутые в посте: «эволюция математического языка» и «различия математических определений в разных учебниках» — достаточно узкие и, возможно, интересны очень небольшому кругу читателей.

А во-вторых, как бы деликатно и осторожно я не писал про эти темы, обязательно находятся какие-то учителя или репетиторы, которых мои тексты почему-то обижают или даже оскорбляют.

Источник: vk.com

Комментарии: