Способ задания дискретной динамической системы

Сегодня мы с вами закончим разбираться с динамическими системами и поговорим наконец об одном из способов задания дискретной динамической системы (каскада). На какое-то время я закончу писать про динамические системы и перейду на что-то другое, поскольку не ими одними живет математика. Перейдем теперь непосредственно к основной части поста.

В прошлых постах мы с вами говорили о функции последования и способе различения центра и фокуса, а также способе поиска предельных циклов с помощью данной функции. Но давайте попробуем взглянуть с несколько более общей позиции на то, что мы делали. Вспомним для начала что такое динамическая система. Если говорить довольно простым языком, то динамическая система - это просто отображение многообразия на себя, но с некоторыми дополнительными условиями (начальное условие и групповое свойство). Поскольку мы хотим получить дискретную динамическую систему, то достаточно просто получить отображение некоторого многообразия на себя, так как для него эти два условия автоматически выполняются.

Теперь посмотрим на то, что мы делали в двух прошлых постах. Мы рассматривали некоторую систему ОДУ на плоскости. Система ОДУ, точнее её решение, является потоком, а в качестве фазового пространства (несущего многообразия) выступает двумерное евклидово пространство. Далее мы проводили луч таким образом, чтобы начало его лежало в состоянии равновесия, а сам луч пересекал фазовые траектории без касания. Но можно на это взглянуть с другой стороны. Мы выделяли такое подмногообразие фазового пространства, что траектории потока пересекаются с ним трансверсально. И далее мы получали отображение последования, которое в сути и является отображением подмногообразия фазового пространства на себя, а следовательно и дискретной динамической системой.

Можно ли теперь, зная всё это, проделать аналогичные действия, но для потока заданного на произвольном многообразии? Конечно же можно! Алгоритм абсолютно аналогичный. Рассматриваем поток на некотором многообразии, выделяем необходимое подмногообразие и строим отображение последования. Однако стоит заметить, что задача эта нисколько не тривиальная и явно получить отображение последования вы сможете далеко не всегда, если не сказать практически никогда. Основных сложностей, как можно понять, две. Во-первых, надо каким-то образом выделить многообразие, которое будет трансверсально пересекаться с траекториями потока. Задача уже не самая простая. Во-вторых, нужно каким-то образом получить отображение последования. И раз уже в довольно простом случае на плоскости эта задача решается лишь в исключительных случаях, то с произвольным многообразием ситуация будет ещё хуже. Ситуация в некотором смысле похожа на теоремы существования. Мы лишь говорим, что нечто существует, но не можем найти.

Если говорить об истории данного метода получения дискретных динамических систем, то впервые, насколько мне известно, его описал Пуанкаре. Анри Пуанкаре вообще можно в некотором смысле считать отцом теории динамических систем, но это уже не относится к теме данного поста. На сегодня у меня всё. До скорых встреч!

P.S. Как уже было сказано выше, пока что я прекращу писать о динамике, но через какое-то время точно к ней вернусь. Всё же раздел довольно сложный и хочется чего-то попроще. Возможно, в следующем посте я расскажу про академика Андронова и его школу.

Источник: vk.com

Комментарии: