Поговорим о проблемах преподавания основ линейной алгебры

Поговорим о проблемах преподавания основ линейной алгебры. То, что здесь написано дальше, является моим личным мнением, на основе которого я в будущем свой учебник и свои пособия напишу.

На первом скриншоте логическая схема параграфов 12.3 и 12.4 в учебнике по Калькулюсу Стюарта, она более-менее типичная.

В чем проблемы этой схемы?

1. Очень немотивированные определения. Для определения cross product хоть какая-то мотивация дается, но непонятно, почему именно такой знак и почему не умножить это на константу. В случае прочих определений - вообще непонятно, откуда они берутся.

2. Схема довольно запутанная, и из неё становится понятно, почему этот материал очень сложно воспринимать, читая подряд.

3. Все геометрические интерпретации формул и свойства вводимых объектов доказываются просто длинными вычислениями в лоб, возникает ощущение, что это какая-то магия, которую можно только запомнить. Т.е. сначала куча формальных операций с символами, а потом внезапно раз - и свойства какие-то возникают, интерпретации. Почему так, какой смысл за этим стоит - не раскрыто.

4. Видно, что часть необходимых вещей для понимания просто отсутствует. В частности, ни слова нигде про то, что определитель - это абсолютно антисимметричная форма и с чем это связано. Соединение свойств векторного произведения и определителей тоже производится абсолютно случайным (в смысле произвольным) образом. Нет никакого объяснения, почему они так взаимосвязаны.

Проще говоря, можно все эти претензии свести к одной: материал изложен таким образом, чтобы, с одной стороны, материал был бы изложен весь, а с другой - никакого понимания смысла не возникло.

Кроме того, в геометрической теме практически полностью отсутствуют рисунки, а те, что присутствуют - мало полезны для того, чтобы интерпретировать объекты. Например, там использован рисунок, чтобы показать разность двух векторов в формуле для теоремы косинусов.

Почему так происходит?

На мой взгляд, подобные курсы - результат длительной эволюции курсов. Есть определенные требования, курс оптимизируется под то, чтобы студенты смогли сдать экзамены по нему с минимальной затратой усилий и с максимальным результатом.

Если внимательно посмотреть на схему и доказательства из самой книги, то можно обнаружить, что она составлена таким образом, чтобы все доказательства фактов можно было бы провести максимально тупым образом путем вычислений в лоб. На последующих скриншотах покажу, какие там доказательства.

Отмечу, отдельно, например, что российские курсы в среднем лучше. Прикреплю, как те же темы излагают на физфаке МГУ. Смысла там существенно больше и определения более понятные, но тем не менее в целом всё скорее точно также, как в американском Калькулюсе.

Какие выводы можно сделать из происходящего?

1. Оптимизация курсов по критериям в духе способности студентов сдать экзамены по итогу их прохождения - ведет к технологизации образования и его выхолащиванию. Чем жестче настроены KPI, тем стремительнее происходит уничтожение образования.

2. Длительная эволюция учебных курсов, идущая на самотек и не контролируемая преподавателями, что, зачем и в какую сторону эволюционирует - легко приводит к печальным последствиям.

3. Образование развивается не путем последовательной эволюции. Путем последовательной эволюции оно деградирует. То есть все скачки в развитии происходят революционным путем, за каждым таким скачком следует процесс медленной эволюционной деградации. При этом на начальном этапе, возможно, деградации даже не видно, так как образование постепенно адаптируется к новой системе, а новая система может оказаться слишком сырой.

Предложу конкретные выводы применительно к преподаванию линейной алгебры.

1. Изложение должно быть в обратном порядке - то, что в текущих курсах называется аксиомами, должно быть в самом конце. А начинать нужно со свойств основных объектов, которые вводятся на основе того, какими свойствами обладают ориентированные объемы, площади, проекции и тому подобные вещи.

2. Можно заметить, что в существующем изложении просто отсутствует огромное количество кусков, важных для понимания. Единые объекты разорваны на куски, в итоге каждый кусок по отдельности выпадает из контекста, а связи между кусками становятся непонятными и случайными. Чтобы это устранить, следует сразу начинать с определений геометрической алгебры, но не в том виде, в каком они есть в пособиях по алгебрам Клиффорда, а через геометрические объекты и их свойства. Например, скалярное и векторное произведение - это две нераздельные части одного объекта, Клиффордова умножения, и без понимания этого объекта связи между ними кажутся загадочными. Кроме того, загадочными выглядят связи между векторным произведением и определителей, если не ввести внешнее произведение. А также - симметрические и антисимметрические многочлены, и их смысл.

3. Обычной здесь является следующая схема: сначала двумерные объекты, потом трехмерные. В более абстрактных курсах - сразу многомерные. Но самой простой и эффективной, на мой взгляд, будет принципиально иная: 2D - > 1D -> поверхность двумерной сферы -> 3D.

Дело в том, что в 2D уже есть все специфические свойства вводимых объектов, в 1D их просто не видно, а в 3D они уже слишком сложные. Свойства же 3D во многом вытекают через то, что SU(2) является универсальной двулистной накрывающей группы SO(3). Основы теории групп на базовом уровне можно тоже сразу в линале давать - через вполне конкретные группы, а также через теорию перестановок.

4. 3D и геометрию поверхности двумерной сферы надо через кватернионы излагать сразу и матрицы Дирака. Так гораздо яснее, откуда что берется и почему. При этом куда проще доказательство векторных формул через кватернионные, чем наоборот. Например, можно посмотреть в википедии, какое есть доказательство кватернионных формул - оно совершенно запутанное, искусственное, и непонятно, как до такого вообще можно додуматься. А кватернионные формулы, тем временем, легко выводятся напрямую из свойств геометрических объектов, которые с помощью них описываются.

5. Всё это очень естественным образом соединяется с проективной геометрией, которая появляется в изложении просто по ходу дела.

6. Можно в конце каждого раздела делать соединение с физикой. В частности, из свойств объектов 2D вытекает вся классическая механика и её геометрический смысл. А при переходе к кватернионам можно получить "бесплатно" весь электромагнетизм и теорию относительности.

7. Понятное дело, что в таком подходе комплексные числа, например - это не что-то отдельное, а просто геометрический объект в 2D (а именно - двумерный бивектор). Трехмерных линейно независимых корней из минус единицы, кстати говоря, всего 4: три бивектора и один тривектор. Первые 3 представляют собой составные части кватерниона, а четвертый совпадает с мнимой единицей по свойствам.

8. Удобно сделать первый семестр геометрический, т.е. посвященный геометрическим объектам и системам уравнений. А второй семестр - уже про операторы и основы тензорного анализа. Естественным мостом между всем этими двумя семестрами являются матричные представления групп всех изучаемых геометрических объектов, а также их операторная интерпретация.

9. Алгебру следует понимать и излагать так, как это предлагал Шафаревич. Алгебра - это координатизация.

10. В изложение добавить обобщение теории на произвольные кольца, как сделано у Вавилова. Но сделать это после изложения всей теории в евклидовом пространстве. Тогда возникает простой мост от почти школьной точки зрения к "точке зрения профессионального алгебраиста"

Источник: vk.com

Комментарии: