О смысле алгебры и геометрии. Часть 1, вводная. |
||
МЕНЮ Главная страница Поиск Регистрация на сайте Помощь проекту Архив новостей ТЕМЫ Новости ИИ Голосовой помощник Разработка ИИГородские сумасшедшие ИИ в медицине ИИ проекты Искусственные нейросети Искусственный интеллект Слежка за людьми Угроза ИИ ИИ теория Внедрение ИИКомпьютерные науки Машинное обуч. (Ошибки) Машинное обучение Машинный перевод Нейронные сети начинающим Психология ИИ Реализация ИИ Реализация нейросетей Создание беспилотных авто Трезво про ИИ Философия ИИ Big data Работа разума и сознаниеМодель мозгаРобототехника, БПЛАТрансгуманизмОбработка текстаТеория эволюцииДополненная реальностьЖелезоКиберугрозыНаучный мирИТ индустрияРазработка ПОТеория информацииМатематикаЦифровая экономика
Генетические алгоритмы Капсульные нейросети Основы нейронных сетей Распознавание лиц Распознавание образов Распознавание речи Творчество ИИ Техническое зрение Чат-боты Авторизация |
2024-07-31 12:16 Что такое алгебра? Рассмотрев разные точки зрения, можно убедиться, что они все, по сути, могут быть классифицированы по тому, как они соотносят алгебру с геометрией. Не претендую, правда. на очень полный обзор - буду рад указаниям в комментариях на другие варианты. Предлагаю также обсудить те, что я тут перечисляю. В следующей части будет изложено объяснение пятой точки зрения на примере геометрической алгебры в обычной школьной планиметрии. Первая точка зрения, самая наивная, заключается в том, что алгебра есть наука о формальных операциях с произвольными правилами над символами, однако некоторые алгебраические структуры имеют геометрический смысл. В такой точке зрения геометрия рассматривается как часть математики, отличная от алгебры. Вторая точка зрения в том, что алгебра описывает координаты и параметры геометрических объектов. Третья заключается в том, что алгебра (или более широко - математика) и геометрия просто не имеют между собой ничего общего, и отношение математики к геометрии примерно такое же, как к химии, биологии, физики - как к некоторым приложениям, которые не имеют никакого математического смысла. Четвертая точка зрения, самая необычная, принадлежит физику-теоретику Швингеру, которые додумался до неё, глубоко анализируя и развивая основы квантовой теории. Она заключается в том, что алгебра - не координатизация, а символическое обозначение измерительных операций человека. Геометрия же - это символическое обозначение физических состояний природных объектов. Пятая точка зрения заключается в том, что геометрия - это и есть алгебра. Просто существующие учебные курсы это очень тщательно скрывают от студентов, да и многие ученые об этом просто не знают, в том числе даже крупные математики, вследствие чего расплодилось много заблуждений по этому поводу. Эта точка зрения является точкой зрения геометрической алгебры. Надо сказать, что четвертая и пятая точка зрения могут быть представлены как две части одной и той же точки зрения. Дело в том, что состояния в физике конструируются из физических величин, а величины - это обозначения измерительных операций и их результатов. Таким образом, геометрия - просто другое представление алгебры. Рассмотрим эти 5 точек зрения подробнее. 1. Первая точка зрения популяризируется в основном учебным процессом в школе и вузе. Она несостоятельна, но преподавание устроено таким образом, что оно её поддерживает. А именно: курсы геометрии и алгебры сильно отделены друг от друга, геометрии выделена куда меньшая роль, алгебра и анализ излагаются обособленно от геометрии, и лишь иногда что-то геометрическое на этих предметах используется в качестве приложений алгебры и анализа. 2. Вторая точка зрения популяризирована Шафаревичем. Она заключается в том, что алгебра есть координатизация (или по Фридману - арифметизация). Как писал Галилей, важная задача ученого заключается в том, чтобы "сделать измеримым все, что таковым еще не является". Также он говорил, что "следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является" Этот процесс также называют формализацией, измерением, арифметизацией, оцифровкой, символизацией. Шафаревич в своей книге ссылается на Германа Вейля: "Место, занимаемое алгеброй в математике, можно попытаться описать, обратив внимание на процесс, который Герман Вейль назвал трудно произносимым именем «координатизация». Человек может ориентироваться во внешнем мире, опираясь исключительно на свои органы чувств, на зрение, осязание, на опыт манипулирования предметами внешнего мира и на возникающую отсюда интуицию. Однако возможен и другой подход: путем измерения субъективные ощущения превращаются в объективные знаки - числа, которые способны сохраняться неограниченно долго, передаваться другим лицам, не воспринимавшим тех же ощущений, а главное - с которыми можно оперировать и таким образом получать новую информацию о предметах, бывших объектом измерения. Эти две тенденции и отражаются: одна - в геометрии, другая - в алгебре. При этом алгебра играет приблизительно ту же роль, что и язык или письменность в контакте человека с внешним миром. Обе тенденции тесно связаны…" 3. Третья точка зрения популяризирована в трактатах Бурбаки. Там написано следующее "Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это изучение алгебраических структур - множеств с определенными в них операциями. Под операцией в множестве M понимается любое отображение из декартова произведения M на M в M т.е. правило, по которому из любых двух элементов множества M получается некоторый элемент этого же множества. Элементами множества M могут быть как числа, так и объекты другого рода". Видно, что геометрия в привычном изложении отличается от этого определения. Потому что в геометрии операции, которые производятся над геометрическими элементами, обычно описывают совершенно иначе, чем сами геометрические элементы. А сами геометрические объекты представляют собой лишь очень частный случай того, с чем эти операторы могут работать. Здесь уместна будет аналогия со счетом яблок. Для счета количества яблок мы применяем числа, но сами же яблоки не являются объектами числовой природы и вообще математическими. Но есть одна вещь, которая мешает полностью перейти на эту точку зрения. Она заключается в том, что геометрия с древних времен была частью математики, а яблоки нет. И сами объекты геометрии, в отличие от яблок, определяются математически. Кроме того, многие математические факты имеют геометрический смысл и именно геометрия открывает путь к проникновению многих тайн. Геометрические идеи лежат в основе многих вычислительных методов. Ничего подобного сказать про яблоки, разумеется, нельзя. 4. Четвертая точка зрения связана с особенностями квантовой механики и в целом неклассической физики. Дело в том, что важным отличием неклассической физики от классической, которую приводят, является нетривиальная теория измерений. В классической физике не проводилось принципиальной разницы между измерительной операцией и самим результатом этой операции. В неклассической физике нам нужно учитывать, что результат измерения - это не то, "что есть", а результат взаимодействия прибора с измеряемым объектом. Например, свет в теории относительности имеет конечную скорость, а значит достаточно быстро летящий объект имеет совсем не ту форму, как на фотографии. Квантовая механика представляет собой алгебру операторов, которые соответствуют не столько чему-то реальному, сколько просто измерительным процедурам. Например, оператор импульса задает собственное подпространство, которое соответствует определенному идеализированному способу измерять состояние частицы. Внезапно оказывается, что алгебра - это не то, что мы измерили, а то, как мы измеряем. А то, что мы измерили - это геометрия. С помощью такого алгебро-геометрического взгляда на физику Швингер описывает квантовую механику в своих книгах. 5. Пятая точка зрения основана на существовании алгебр Клиффорда (которые все вместе называют геометрической алгеброй). Главной особенностью геометрической алгебры является то, что и сами геометрические объекты, и операции их преобразования - являются частью одной и той же алгебры. Геометрическая алгебра достаточно богата, чтобы описывать все возможные геометрии, но при этом она описывает их как алгебры в определении Бурбаки. Более того, именно она описывает и всю известную нам фундаментальную физику, что говорит о том, что все законы физики (а не только общая теория относительности, в которой гравитация есть кривизна пространства-времени) описывают геометрию. При этом необычной особенностью геометрической алгебры является то, что ей соответствует не одна, а множество геометрий. Например, можно рассматривать исчисление гиперплоскостей и их пересечений, в котором формулы Крамера для решения СЛАУ и их обобщения - частный случай более общего геометрического факта. Например, можно рассматривать алгебру движений, состоящую из точек, векторов, бивекторов, тривекторов и т.п., в которой каждый объект одновременно является как движением других объектов, так и конструкцией из других объектов (точно также, например, как в арифметике число -3 одновременно означает и отдельное число -3, и конструкцию (-1-1-1), и уменьшение любого другого числа на 3). Можно также рассматривать проективную геометрию, где однородные координаты любой точки, прямой или гиперплоскости соответствуют векторам и мультивекторам алгебры Клиффорда, а теоремы проективной геометрии с помощью этой алгебры доказываются совершенно элементарно. Та же самая алгебра описывает исчисление геодезических на любых квадриках, а также элементов площади, объема и т.п. на многообразиях постоянной кривизны любой сигнатуры (квадриках) в пространствах любой размерности. И, наконец, та же самая алгебра описывает грани симплексов, и частными случаями её применения являются внешнее дифференциальное и интегральное исчисления, которые, однако, обычно в литературе описываются другим языком - дифференциальными формами. Надо сказать, что то же самое присутствует и физике. Атом, с одной стороны, является конкретным квантовым состоянием, которое находится где-то в пространстве и может быть измерено. С другой стороны - оператором эволюции, который изменяет состояние во времени. С третьей стороны - составной геометрической конструкцией из элементов, столь же двойственных. И не случайно - элементарные частицы классифицируются по представлениям групп, которые описываются геометрической алгеброй (точнее говоря, с помощью которых описываются свойства геометрических алгебр). Например, кварки соответствуют трем базисным векторам трехмерной алгебры Клиффорда, а значит и просто векторам в обычном трехмерном пространстве. Частицы, составленные из кварков, представляют собой их тензорные произведения, которые сами внезапно оказываются элементами геометрических алгебр в пространствах более высокой размерности. Например, мезоны, состоящие из пары кварк-антикварк, являются элементами шестимерной алгебры Клиффорда. В следующей части я расскажу, что геометрическая алгебра даёт, если её применить к самой обычной школьной планиметрии. Источник: vk.com Комментарии: |
|