> Хочется поделиться с вами интересными находками из области численных методов.

В этом учебном году меня заинтересовало применение сплайн интерполяции в качестве инструмента цифровой обработки изображений. На одном замечательном сайте (ResearchGate) я нашла весьма интересную статью, опубликованную 29 ноября 2023г, в которой представлен уникальный способ реконструкции границ изображений и улучшения качества визуализации. Один из рассматриваемых примеров – очертание озер Игапо, Бразилия.

Кратко расскажу немного теории для понимания процесса построения.

Сплайн – это форма интерполяции таблично заданной функции f на каждом из отрезков [x_i; x_i+1], i=1,…,n полиномами степени p. Функция Sp(x) степени p представляет собой сплайн, который удовлетворяет следующим условиям:

- степень каждого многочлена на каждом из отрезков [x_i; x_i+1], i=1,…,n равна p;

- имеет непрерывные производные до (p-1) порядка;

- происходит равенство значений функции и значений сплайна в узлах: Sp(x_i)=f(x_i), i=1,…,n+1.

Один из частных случаев сплайнов – это линейные (в статье обозначены SL). Они образованы многочленами первой степени. То есть каждый полином имеет вид: SL_k(x)=m_k?x+l_k

Другим частным случаем является кубические сплайны (в статье обозначены SС). В этом случае каждый полином имеет третью степень и представим в виде: SС_k(x)=a_k(x-x_k)^3+b_k(x-x_k)^2+c_k(x-x_k)+d_k. Здесь ещё необходимо сказать о равенстве значений первой и второй производных в узлах для гладкости склейки в узлах сплайна.

Определяя значения коэффициентов сплайна, решая СЛАУ, учитывая дополнительные условия для единственности решения, получаем гладкие кривые, аппроксимирующие контур озер Игапо. В случае некоторых сложных кривых, которые явно не выразить с помощью функций, используется параметризация.

Таким образом, происходит полное формирование края двумерного изображения.

Очень интересно ещё заметить как происходит моделирование параметра качества. Предложенная в статье модель представляет собой интегрирование областей между пересечениями кубического и линейного сплайнов (интервалы интегрирования задаются двумя последовательными точками, в которых пересекаются сплайны). Затем происходит вставка дополнительных данных до критерия остановки. Расчётные площади являются показателем качества вычислительной реконструкции.

Алгоритм данной модели работает на увеличение набора данных, детально обогащая версию изображения (посредством критерия остановки вставки данных). Но, безусловно, это наблюдение требует дополнительных математических исследований, поскольку возникает вопрос оптимального введения новых данных, ведь изображения с большим объемом данных могут сильно замедлить процесс сходимости, что приведет к непомерно высоким вычислительным затратам. Приведенные построения нескольких конструкций в данной статье мне показались очень интересными, поэтому с радостью делюсь этим с вами!

Источник: vk.com

Комментарии: