Сегодня пост будет посвящен одному из польских математиков, а именно Вацлаву Серпинскому и одной из проблем, носящей его имя.

Числа Серпинского. В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число k*2^n +1 - является составным.

Такие числа являются большой редкостью, и их поиск представляет собой достаточно сложную задачу.

Ученые-математики занимаются поисками чисел Серпинского с 1960-х годов, а упомянутая выше проблема Серпинского заключается в поиске такого числа, имеющего самое малое значение. Самое малое из известных на сегодняшний день чисел Серпинского равно 78 557, что доказал в 1962 году американский математик Джон Селфридж.

Треугольник Серпинского. Это фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, описанный Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырёх образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников и т. д.

Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского.

Свойства треугольника Серпинского:

1.Треугольник Серпинского замкнут.

2.Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие - ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза.

3.Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что во фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок.

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского). Это фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора. Впервые он был описан Вацлавом Серпинским в 1916 году. В этом типе фракталов форма делится на меньшую копию самой себя, удаляя некоторые новые копии и оставляя оставшиеся копии в определенном порядке, чтобы сформировать новые формы фракталов.

Ковёр Серпинского начинается с квадрата. Этот квадрат разделён на девять равных частей. Самый маленький меньший квадрат удаляется из оригинального большего квадрата. Затем оставшиеся квадратные части снова делятся на девять равных частей, и самый центральный квадрат из каждого квадрата удаляется. При повторении этого процесса наблюдается красивый рисунок ковра Серпинского.

Пирамида Серпинского - это объемное представление треугольника Серпинского. Построение такой пирамиды начинается с правильного тетраэдра, из которого вырезают октаэдр, оставляя в нём четыре малых тетраэдра, с вдвое меньшими гранями. Алгоритм повторяют с каждым из малых тетраэдров. Алгоритм построения пирамиды Серпинского приводит при n ? ? к полному изъятию объема исходного тетраэдра. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Кривая Серпинского – это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых.

Эта кривая замечательна тем, что является замкнутой кривой без самопересечений, всюду плотной в квадрате. Кривая в пределе при n ? ? полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером заполняющих пространство кривых.

Пространство Серпинского - это конечное топологическое пространство с двумя точками, только одна из которых является закрытой. Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным, ни дискретным.

Губка Менгера - это объемное представление ковра Серпинского. При построении трёхмерной версии ковра за основу берут куб, из которого вырезают маленькие кубы. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.

Полученный фрактал очень похож на разрез костной ткани. Поэтому проводятся исследования по использованию фракталов в создании материалов для протезирования костей и суставов.

Константа Серпинского – это математическая константа, обычно обозначаемая как k.

Источник: vk.com

Комментарии: