О геометрии квантовых состояний

Недавно подивился, что существует очень красивый, но незаслуженно обделённый вниманием предмет на стыке геометрии, физики и информатики, называемый геометрией квантовых состояний.

Известно, что состояния (аналог точек в фазовом пространстве) квантовомеханической системы описываются лучами в гильбертовом пространстве. Очевидно, что задача о пространстве чистых состояний конечноуровневой системы должна быть тесно связана с проективной алгебраической геометрией, ведь проективизация комплексного векторного пространства есть простейшее комплексное проективное многообразие - CP^n. Например, если гильбертово пространство двумерно (двухуровневая квантовая система, то есть кубит), то соответствующее пространство чистых состояний есть CP^1, называемое сферой Блоха. Оказывается, что на языке комплексной геометрии многие вещи из квантовой информатики выглядят гораздо более естественно. Например, запутанные состояния - это те состояния в CP^(nm-1), не являющиеся образами вложения Сегре CP^(n-1) ? CP^(m-1) —> CP^(nm-1), максимально запутанные состояния характеризуются лагранжевостью вложения относительно кэлеровой метрики Фубини-Штуди (которая, кстати, тоже несёт конкретный физический смысл), а пространство смешанных состояний кудита (многомерный аналог кубита) в общем случае есть слоение с типичным слоем многообразия флагов. В общем, это красивейший раздел физики и математики, который вполне по силам человеку с базовыми знаниями физики и геометрии. По данной теме есть замечательная книга, а также очень интересный доклад одного из её авторов. Enjoy!

Источник: vk.com

Комментарии: