Давно ли вы решали кубические уравнения?

Некоторые люди думают, что решение каких-то частных задач подобного рода - дело скорее техническое и не связано с фундаментальными открытиями в области математики. Отчасти это верно. В том смысле, что если наша задача - получить решение данного уравнения с наибольшей точностью, то в общем-то не так уж важно наличие явного выражения корней уравнения через определённые функции. Достаточно лишь иметь какой-то итерационный процесс, достаточно быстро сходящийся к точному корню. Если существует такой процесс, то число называется вычислимым. Несмотря на то, что множество всех вычислимых чисел не более чем счетно, на практике ученые имеют дело исключительно с вычислимыми числами.

Однако даже занимаясь исследованием скорости сходимости разных процессов подобного типа, мы будем выходить на те или иные открытия. Например, на первой картинке 3 задачи, посвященные вычислению квадратного корня, которые я составлял сам и давал своим студентам в качестве дополнительных вопросов к зачету по вычислительной математике. Можете попробовать их решить и убедиться, что древние индусы вычисляли квадратный корень более эффективным методом, чем в древнем Вавилоне - и те, и другие вывели этим методы скорее подбором. А вот метод Ньютона решения нелинейных уравнений позволяет легко вывести куда более быстрые методы.

Но совсем неверно высказанное утверждение, если дело касается поиска аналитических решений того или иного уравнения. В частности, с глубокой древности людей очень волновали три задачи, которые являются задачами о решении конкретных уравнений и при этом породили множество математических открытий. А именно - это квадратура круга, удвоение куба и трисекция угла. Все эти задачи невозможно решить с помощью построений циркулем и линейкой, но очень долго люди не могли это доказать и тот факт, что у них никак не получалось придумать алгоритм, был поводом к размышлениям о природе самих построений циркулем линейкой, их свойствах.

Надо сказать, что древняя математика была совсем не построена на теории множеств, и многие их построения математических объектов были непосредственно связаны с какими-то геометрическими конструкциями или даже механизмами. На тему того, как интерпретировать подходы древних к пониманию математики, есть множество споров. Например, есть точка зрения, которая заключается в том, что древние математики все были операционалистами https://link.springer.com/article/10.1007/s10699-021-09791-4 в смысле Бриджмена (что это такое - тут https://plato.stanford.edu/entries/operationalism/ ) . Вводят понятие "синтетической математики" https://ncatlab.org/nlab/show/synthetic+mathematics , чтобы описать подобное восприятие математики.

Тут следует сказать, что особенно интересным объектом с точки зрения возможности разных интерпретаций его природы являются натуральные числа. Их можно рассматривать как мощности конечных множеств, как результат счета, как результат измерения, как чисто логические конструкции и даже через диалектические категории. И в древности были разные подходы - как чисто логические, так и геометрические, так и на основе построения механизмов. В самом деле, когда, например, делят геометрию и алгебру по принципу, что геометрия изучает пространство, а алгебра - время, оказывается, что числа относятся одновременно и к тому, и к другому.

Но вернемся к древним математикам и их построениям.

Как оказалось позже, с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых выражаются с помощью квадратных радикалов. Все прочие же вычислимые числа таким способом построить точно совершенно невозможно (но можно - с какой угодно точностью, задав бесконечный итерационный процесс).

Задача о квадратуре круга требует построения числа Пи. Это число трансцендентное - это означает, что оно не может быть даже корнем многочлена с целочисленными коэффициентами.

А вот задачи об удвоении куба и трисекции угла на самом деле сводятся к решению кубических уравнений.

Как решать кубические уравнения аналитически - первым опубликовал только Кардано уже в 16-м веке. Так поздно, потому что в древности не было удобных алгебраических обозначений, позволяющих легко проделывать множество длинных операций с символами.

Чтобы самому вывести метод Кардано, необходимо сделать замену x = u + v, затем сгруппировать члены уравнения:

u^3 + v^3 + 3uv*(u+v) + p*(u+v) + q = 0

(u+v)*(3uv + p) + u^3 + v^3 + q = 0

Здесь мы видим, что, вообще говоря, каким бы ни было x, представить его в виде суммы двух слагаемых можно бесконечным множеством способом и мы можем зафиксировать такие слагаемые, что 3*u*v = - p.

Тогда подставляем v = -p/(3u) в u^3 + v^3 + q = 0 и в итоге сводим решение задачи к квадратному уравнению.

На второй картинке формулы метода Кардано в общепринятом виде. Их открытие привело к алгебраическому открытию комплексных чисел.

Метод на второй картинке в литературе часто называют методом дель Ферро, потому что именно Ферро первым его открыл, хоть и нигде не опубликовал. Подробнее, например, в книге Гиндикина https://old.mccme.ru//free-books//gindikin/index.html .

Прикрепил также популярную статью по этому поводу и ещё здесь интересно почитать https://kvant.mccme.ru/1986/06/vyzov_van_roumena.htm .

Проблема его формул заключается в том, что в случае, когда есть три разных вещественных корня, они выражаются через кубические корни из комплексных чисел. Само нахождение кубического корня комплексного числа в конце концов требует решения кубического уравнения. Вследствие этого формулы Кардано не являются столь же удобными, как формулы корней квадратного уравнения. Для практических приложений они и вовсе бесполезны - проще численным методом вычислить корень из кубического уравнения итерациями, чем вычислять кубические корни комплексных чисел.

Подробное обоснование того, почему формулы Кардано в случае, когда есть три различных вещественных корня, не дают ничего для решения - есть здесь https://kvant.mccme.ru/1976/09/formula_sushchestvuet_no.htm . В этой статье показано, что попытки вычислить данные кубические корни различными способами приводят всё так же к тому, что необходимо найти корни кубического уравнения, для решения которого эти самые формулы и предназначались.

Однако существуют более удобные формулы для вычисления корней.

Например, тригонометрический. В случае, когда уравнение имеет три разных вещественных корня, эти корни можно выразить с помощью тригонометрических функций, а в случае, когда корень один - с помощью гиперболических функций, как показано на третьем скрине.

Другой подход к выражению через тригонометрические функции в случае, когда в уравнении три разных вещественных корня, был предложен казахстанским 10-классником Янкелевичем в 1971-м году https://kvant.mccme.ru/1971/11/neprivodimyj_sluchaj.htm и описан в журнале Квант, куда школьник отправил своё открытие. Отличие его подхода в том, что он использовал тангенсы и нашёл решение кубического уравнения в общем виде с помощью формулы тангенса тройного угла. Поразительно, что это удалось школьнику, особенно потому, что именно таких формул никто до него ещё не выводил.

Однако всё это выглядит каким-то трюкачеством. Интересно, что существует и куда более стройная теория, объясняющая связь кубических уравнений с тригонометрией и получающая естественным путем через тригонометрические функции решение уравнений третьей и четвертой степени. Это теория полиномов Чебышева. Прикрепил статью Хованского, где изложены некоторые её основы и в том числе теория уравнений третьей и четвертой степени через неё.

Для полинома степени 5 подобное тригонометрическое решение в общем виде невозможно - доказательство этого факта можно проделать через теорему Абеля.

Попытки геометрических интерпретаций формул Кардано привели, например, к открытию того, что кубические корни произвольного уравнения можно интерпретировать как радиусы трех вневписанных окружностей произвольного треугольника, выраженные через его периметр, площадь, и радиусы вписанной и описанной окружностей.

https://kvant.mccme.ru/1976/09/formula_kardano_i_geometriya.htm

В древности геометрические интерпретации привели к построению довольно сложных механизмов, которые решали кубические уравнения. Однако в 20-м веке был обнаружен достаточно простой метод построения корней кубического уравнения, используя линейку и два угольника. https://kvant.mccme.ru/1976/09/graficheskoe_reshenie_kubiches.htm

Этот метод, на самом деле, если подумать, тесно связан с методом Лилля решения алгебраических уравнений произвольной степени, и является разновидностью его интерпретаций.

Хорошее популярное изложение метода Лилля есть тут https://dzen.ru/a/Xtkwdgtd-kP1Zm7s .

По поводу применения метода Лилля к решению кубических уравнений была в 1936-м году опубликована научная статья https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , которая описывает подход к этому Маргариты Белок, активно занимавшейся математикой оригами. Оказалось, что несмотря на то, что сам Лилль не использовал именно оригами, его метод является разновидностью методов построения в теории оригами.

Источник: www.tandfonline.com

Комментарии: