Возникла тут небольшая дискуссия с ув. коллегой в комментариях: удивителен ли факт независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума от системы аксиом Цермело-Френкеля, или нет

Я замечал за профессионалами эдакий принцип "Nil admirari" ("ничему не удивляться"), вроде как приличествующий профи: дескать, подумаешь, плавали-знаем, и не такое видать доводилось.

Однако я считаю способность удивляться необходимой для исследователя, да и вопрос сам — на мой взгляд — интересен.

Итак, в чём же там дело? Есть такие аксиомы теории множеств — аксиомы Цермело-Френкеля, сокращенно обозначаемые ZF. Они, кстати, не догма и вполне можно выбрать другие, да и эти менялись по ходу развития теории. Они вводят "множества" (неважно, что это такое), которые могут содержать "элементы" (другие множества, ничего больше у нас и нет), описывают правила этих отношений — "быть элементом" множества и "содержать" что-то и вводят некоторые понятия на основе введенных — например, "подмножество" или равенство множеств. В их числе такие утверждения, как "аксиома пары" (для любых множеств А и В существует множество, содержащее только А и В), существование пустого множества, множества всех подмножеств данного и всё в таком роде. Есть "аксиома фундирования", согласно которой цепь вложений (элемент элемента элемента элемента ... множества А) обязательно конечна.

И из-за нее, в частности, множество всех множеств не является множеством и проблем не доставляет, как и множество Рассела (множество множеств, содержащих себя в качестве множества).

Имея такие аксиомы, можно строить разные математические объекты. Например, натуральный ряд. Пустое множество символизирует нуль; множество, содержащее пустое и больше ничего, будет 1. А числом n+1 будет множество, содержащее все множества, обозначающие числа от 0 до n. На этом ряду можно определить арифметику, и всё получится.

В итоге, пусть долго, скучно и сложно, но можно построить всю "прикладную" математику, в том числе алгебру, анализ, дифф.уравнения, математическую физику и теорию вероятностей.

Поэтому-то аксиомы ZF стали стандартом: на них можно всё построить.

Однако любая богатая теория неполна и что-то пропускает. Чуть подробнее об этом дальше. Но есть два знаменитых утверждения, которые не охвачены ZF.

Аксиома выбора (АС — Axiom of Choice) утверждает, что для любой системы множеств существует функция выбора, такая, что f(A) принадлежит А. Из нее следует, что декартово произведение непустых множеств непусто. Выглядит правдоподобно: если множество непусто, то там должны быть элементы же, вот один из них и предъявим; однако доказать это утверждение на основе ZF не получится, как и опровергнуть.

Как доказать, что доказать нельзя? Надо построить "модель", в которой есть что-то, что удовлетворяет всем аксиомам ZF, а аксиома выбора там неверна. И другую модель, в которой тоже все аксиомы имеют место, а аксиома выбора верна.

Как с геометрией Лобачевского: доказать "аксиому о параллельных" не получилось, но как доказать, что доказать не получится?

Построить модель, например, такую: плоскость — это открытый круг, а прямые — хорды в нем. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна, из трех точек на прямой одна лежит между двумя другими и всё прочее имеет место, а "аксиома о параллельных" — нет: через точку вне данной прямой (хорды) можно провести много прямых (хорд), которые данную не пересекают. При этом две из них, предельные, которые пересекают данную на границе круга (а граница в открытый круг не входит), называются параллельными. Но это так, к слову: не все прямые, которые не пересекаются, параллельны у Лобачевского, но параллельные не пересекаются, и они есть.

Получается странное. Вот есть два математика, один верит в АС, другой нет. Оба приняли ZF, но первый добавил АС, а другой ее отрицание. Оба построили натуральный ряд, вещественную прямую, ввели функции, интегралы, ряды, дифуры, вероятности, матрицы, тензоры и уравнение Эйнштейна из ОТО, и всё у них одинаково работает. Только у одного есть построенные с помощью АС парадокс Банаха-Тарского, неизмеримое по Лебегу множество и эквивалентность определений непрерывности через последовательности и эпсилон-дельта, а у другого ничего этого нет.

Но ни один, ни другой не может вывести что-то вроде 2*2=8 или сходимость гармонического ряда, так как 2*2=4 оба доказали и гармонический ряд у обоих расходится, так что подобное противоречие бы стало шагом к доказательству либо утверждения (о выборе), либо его отрицания.

А ведь есть другие аксиомы, которые можно добавлять к набору! Из некоторых следует АС для счетных множеств, которая и нужна для практических целей, а в общем случае не следует, и никаких "парадоксов" нет, а всё "практичное" есть. Правда, у отрицателя АС есть система множеств, которые непусты, но их декартово произведение пусто, и это тоже своего рода парадокс.

Гипотеза континуума (ГК) ещё интереснее. Построили наши два математика всё-всё-всё, в том числе натуральный ряд и вещественную прямую. Доказали, что вещественная прямая несчётна: ее точки невозможно пересчитать все с помощью натуральных чисел. И стали искать множество, которое несчетное, но и не континуум (как прямая).

Один нашел, а другой нет.

Подробнее. Один построил подмножество на числовой прямой, другой согласился, что есть такое. Один доказал, что оно несчётное, другой не возражал. Первый построил модель, в которой оно не континуум; второй ответил моделью, в которой континуум.

Ничья.

У первого как бы нет функции (функция тоже множество), отображающей данное множество на числовую прямую один к одному, а у другого она есть.

Может быть, первый "это" не считает множеством.

Может, не видит его, как не видит вещественных чисел второклассник, изучающий действия над 1,2,3.

Может, его у него просто нет.

Не так важно. Важно, что вся эта движуха не влияет на практику: ряды сходятся или расходятся, уравнения решаются одинаково, и всё в таком роде. А на числовой прямой лежит себе множество, которое то ли да, то ли нет.

Давайте обсудим другой момент: о полноте теорий. Вот есть два действия на натуральных числах: сложение и умножение, с обычными правилами. Это "теория". В ней можно доказывать тождества, например a?-b?=(a-b)(a+b). С помощью правил обратимо сводим равенства к 0=0, доказывая тем самым, что равенство верно при любых значениях переменных. Только уточним, что квадрат здесь есть ни что иное, как сокращённая запись aa. Степени у нас пока нет.

И теория полна: все верные тождества можно доказать.

Вопрос: а как выявить верное тождество, если доказать его нельзя? Вернёмся к этому через мгновение.

Добавим к действиям третье: возведение в степень, с обычными правилами. Получится HSI-проблема Тарского: все ли верные тождества можно доказать?

Оказалось, что не все. Нашлось тождество, которое верно, но доказать его нельзя. Подробнее в другой раз, но если кратко, то доказать его можно, только при этом надо использовать такой факт: 1-n+n? есть натуральное число. Но факт этот из свойств сложения, умножения и возведения в степень не вывести.

При этом можно построить модель, в которой будет конечное множество "чисел", на которых заданы какие-то "дикие" сложение, умножение и возведение в степень — но все свойства имеют место. А тождество на (хотя бы) одном наборе переменных в равенство не обращается.

Это доказывает, что доказать его с помощью аксиом не удастся.

Ситуация тоже удивительна, но не так, как с ZF. Ведь тождество нуждается в некоторых правилах для неравенств, которых не было изначально. Теория "попросилась" наружу своих границ. Теория со сложением и умножением полна, она не рвётся за границы — но неравенств и там нет, а ведь они понадобятся, куда вы без них.

Ну, вот геометрия Евклида, она не позволяет доказывать сходимость рядов, и рядом возводится новая теория. Она нужна, но геометрия ее не требует. Получается как бы целый город из домов. Некоторые дома стоят сами по себе, а другие связаны переходами, пристройками и туннелями с соседями и отдаленными строениями.

А ZF позволяет построить целый город, при этом в двух идентичных городах может быть подземелье с чудовищами, а может не быть. Никак не влияет.

Вообще.

Источник: vk.com

Комментарии: