Arf invariant - Wikipedia

Однажды в новогоднем отпуске в Турции со мной случилась такая история: рассчитываюсь я как-то раз наличными деньгами, ничего не подозреваю, и вдруг в составе сдачи мне дают несколько купюр с формулами, таких, как на Рис. 1! Естественно, я сразу же отправилась гуглить, что же за чел изображен на этих купюрах и что означает формула, написанная рядом с ним. И если на первый вопрос ответ нашелся быстро (см. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cahit_Arf ), то разобраться со вторым оказалось сложнее. Точнее, формальное-то определение формулы нашлось (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Arf_invariant ), но оно показалось мне не до конца понятным. Самое главное, я из этой страницы не поняла, почему формула так важна, что ее поместили на купюру, и отложила попытку разобраться в этом вопросе до конца отпуска (кстати, потом мне дали еще несколько таких купюр, но я себе оставила на память только одну, наименее помятую).

Вернувшись в Москву, я продолжила искать информацию и нашла интересный комментарий в ЖЖ (см. Рис.2, оригинал - https://plakhov.livejournal.com/87653.html?noscroll&utm_medium=endless_scroll#comments). Этот комментарий немного прояснил ситуацию, и я отправилась в магазин МЦНМО за книжкой, на которую он ссылался (Рис. 3)! Тут-то я, наконец, и приобщилась по-настоящему к мудрости квадратичных форм на векторных пространствах над Z_2.

Попробую в двух словах рассказать о картине, которая в итоге сложилась у меня в голове.

Если очень коротко, квадратичная форма - это функция особого вида, отображающая вектор в поле (в то поле, над которым задано линейное пространство, из которого взяли вектор). Записывается она как сумма x_i*x_j с какими-то коэффициентами из того же поля, где x_i и x_j - координаты вектора (см. Рис.4). Самый известный пример квадратичной формы - простой, советский, копеечный квадрат нормы вектора. Он равен сумме квадратов координат: x_1^2 + ... + x_n^2.

Так вот, выяснилось, что над пространством (Z_2)^n фиксированной конечной размерности n квадратичная форма по сути задаётся всего одним числом. А число это равно тому, какое значение форма принимает чаще всего на всех возможных векторах из нашего пространства - 0 или 1 (напомню, что результат применения формы тоже лежит в Z_2, поэтому принимать она может только два значения). Это значение и есть инвариант Арфа, изображенный на купюре! То есть, если мы знаем инвариант Арфа, то мы можем вывести, какие значения данная форма примет на всех векторах в данном базисе (но, напомню, это верно только для конечномерных векторных пространств над Z_2). Доказательство факта можно найти на Рис.5-8 со страницами из книги Савельева "лекции по топологии трехмерных многообразий".

В этой книге также пишут, что этот инвариант используется в теории узлов (там по узлу строят квадратичную форму, а потом от нее берут этот инвариант) и топологии в целом, но пока что я не стала дальше копать в этом направлении.

Источник: en.m.wikipedia.org

Комментарии: