Рациональные приближения функций и чисел

Александр Аптекарев / ЛШСМ 2023

Лекция будет посвящена конструкции, пришедшей в современную математику из античности. Речь пойдет о непрерывных (цепных) дробях, которые с помощью алгоритма Евклида можно ставить в соответствие функциям или числам. Когда этот алгоритм, примененный к конкретной функции (числу), может работать без остановки, тогда получаемая непрерывная дробь будет бесконечной. Если при этом его остановить на каком-то шаге, то соответствующая конечная дробь будет приближением этой функции (числа). Так Архимед получил рациональное приближение 1351/780 для числа ?3.

Нашей целью будет поговорить о проблеме маркерных паттернов нуклеотидов ДНК с точки зрения геометрии инвариантных множеств (аттракторов, репеллеров) итераций нескольких фиксированных дробно-линейных отображений. Мы постараемся объяснить необходимые для этого понятия доступным для слушателей образом.

Начнем с продолжения в комплексной плоскости ростков аналитических функций (голоморфных, мероморфных, алгебраических). Здесь появятся рациональные аппроксимации степенных рядов (аппроксимации Паде) и, в частности, конечные и бесконечные непрерывные дроби с полиномиальными коэффициентами. (В последующем разговоре именно в таких коэффициентах будет содержаться информация о нуклеотиде ДНК).

Затем перейдем к классике теории чисел: скорости приближения иррациональных чисел рациональными. Нас будут интересовать медленно приближаемые иррациональности (золотое сечение, спектр Лагранжа, цепочки (граф) Маркова). Известно, что для этих чисел непрерывные дроби периодические, и их коэффициенты принадлежат множеству из двух элементов: {1,2}. Собственно паттерны из коэффициентов этих периодов будут представлять для нас главный интерес.

Мы упорядочим эти паттерны по скорости приближения задаваемой ими иррациональности. Для этого мы рассмотрим нашу непрерывную дробь в виде итерационной функциональной системы (ИФС) {f_j(z)}, j=1,2, переводящей комплексную плоскость в себя под действием двух дробнолинейных преобразований f_1(z):=1/(1+z), f_2(z):=1/(2+z), выбираемых в соответствии с патерном периода. Геометрическую характеристику взаимного расположения инвариантных множеств (аттрактора и репеллера) дискретной динамической системы, порожденной этой ИФС, можно связать со скоростью приближения иррациональности нашей непрерывной дробью.

Наконец, мы перейдем к молекуле ДНК, её модели “nearest neighbor approximation”, к дискретному уравнению Шредингера, соответствующей ему непрерывной дроби с полиномиальными коэффициентами и увидим, как это все похоже на спектр Маркова—Лагранжа!

Аптекарев Александр Иванович — доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна

26 июля 2023 г.

Источник: vk.com

Комментарии: