Примеры мышления на разных уровнях

Давайте на конкретных задачах посмотрим, как мыслят школьники на разных уровнях.

1. Десятки и единицы.

Если попросить школьника перемножить 12 и 8 в уме, то возможно три варианта рассуждений:

а) Разбивает число 12 на десятки и единицы. Далее начинает с десятков и переходит к единицам.

То есть ученик сначала умножает 10 на 8, затем 2 на 8, складывает 80 и 16 и получает верный результат.

Это единственный правильный способ вычислений.

б) Разбивает число 12 на десятки и единицы. Далее, наоборот, начинает с единиц и переходит к десяткам.

То есть ученик сначала умножает 2 на 8, затем 10 на 8, складывает 16 и 80 и получает верный результат.

Такого ученика в целом несложно научить правильному порядку умножения. Он понимает главную идею – нужно сначала разбить число на десятки и единицы.

в) Выполняет умножение столбиком в уме.

То есть ученик рисует (!) в голове число 12, под ним число 8 и идёт по письменному алгоритму с рассуждениями вроде «шесть пишем, один в уме».

Это перегружает память и воображение. Ученик считает очень медленно.

Мышление такого школьника ограничивается категорией цифр. Понятие «десяток» не сформировано или сформировано плохо. Для него «десять» это не цельная группа из десяти элементов, а цифры «1» и «0», которые стоят рядом.

Если вовремя не переучить школьника считать первым способом, то в дальнейшем у него будут проблемы с вычислениями.

Первое, что блокируется почти сразу, это деление двузначного числа на двузначное.

Что из себя представляет такое деление? Это обычный подбор.

Разделим 72 на 12.

Нам нужно подобрать такое число, которое при умножении на 12 даёт 72.

Если начинать умножение с десятков, то обычно ученик действует в такой последовательности:

- замечает, что если 7 умножить на 10, то будет 70 (это первичная прикидка);

- пробует 7 умножить на 12;

- сразу понимает, что получается слишком большое число;

- делает шаг назад, берёт число 6 и получает верный ответ.

Здесь на письме такие рассуждения выглядят громоздко, но у ученика это занимает доли секунды. Максимум – пара секунд.

Если же не научиться применять правило «сначала десятки, потом единицы», то подбор будет хаотичным. Никакой прикидки не будет. Каждый следующий этап перебора будет начинаться почти с чистого листа.

Ученик будет просто по порядку пробовать числа 3, 4, 5, 6. И на каждом шаге будет в голове выполнять умножение столбиком.

Порой такие школьники и вовсе пытаются разделить 72 на 12 также столбиком, что совсем абсурдно...

Если ученик не научится делить двузначное число на двузначное в уме правильно и быстро, то он никогда не научится делить столбиком многозначные числа.

Некоторые ученики вообще выполняют подобное деление следующим образом.

Пишут в столбик деление, например, четырёхзначного числа на двузначное. А когда подбирают очередную цифру, то в стороне каждую из них умножают столбиком на исходное двузначное.

На этом проблемы не кончаются.

Разбиение на десятки и единицы по мере прохождения школьной программы обобщается и переносится на другие объекты и операции.

Главная идея-то глобальнее: мы сначала работаем с крупными элементами, а потом с мелкими.

Например, для смешанных дробей.

Пусть нужно посчитать сумму 6 3/7 (шесть целых три седьмых) и 8 2/7.

Нередко школьники обе дроби переводят в неправильные, потом их складывают, потом мучаются с выделением целой части и, наконец, получают верный ответ.

6 3/7 + 8 2/7 = 45/7 + 58/7 = 103/7 = 14 5/7

Хотя правильно сложить сначала крупные куски (целые части), а потом мелкие (дробные части).

Сравните применение этой идей в разных темах школьной программы:

а) умножение двузначного числа на однозначное: 13?7 = (10+3)?7 = 10?7 + 3?7 = 70 + 21 = 91

б) умножение временного интервала на число: 2 часа 13 минут ? 3 = (2 часа + 13 минут) ? 3 = 2 часа ? 3 + 13 минут ? 3 = 6 часов 39 минут

б) умножение смешанной дроби на число: 5 3/17 ? 4 = (5+3/17)?4 = 5?4 + 3/17?4 = 20 + 12/17 = 20 12/17

На примере умножения небольших чисел можно объяснять родителям выявленные проблемы со счётом у их детей.

Если ребёнок в средней или в старшей школе умножает с единиц, то легко показать, как это в итоге приводит к текущим трудностям в обучении.

Главное донести, что их дети не глупые и не травмированы математикой или математичкой. Они просто пока иначе мыслят. И нам нужна сейчас не столько пятёрка по математике, сколько новый способ мышления.

Можно даже просто пересказать родителям этот раздел.

Расскажите про 12 и 8. Расскажите, как нужно правильно умножать и как умножает их сын или дочь. Что вычислительные навыки с самого начала заблокированы неправильным алгоритмом.

Но никогда не просите родителей самих посчитать и тем более не спрашивайте, как именно они считают!

Есть вероятность, что уставший отец или мать либо не сможет это сделать, либо также посчитает в голове столбиком.

Это худшее начало для сотрудничества.

2. Подбор корней по теореме Виета.

Большинство школьников считает корни квадратного уравнения через дискриминант.

Это понятный алгоритмический подход – надо просто знать формулы и аккуратно подставлять в них числа.

В школе также знакомят с «подбором корней квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета». Обычно эту формулировку упрощают до «найдём корни по теореме Виета».

Часть школьников сначала пытается делать подбор, но через некоторое время от него отказывается. Они думают, что им не хватает математической интуиции или скорости счёта.

Но чтобы это делать быстро, тоже нужна некоторая техника. Причём в школе редко про неё рассказывают.

Напомню, как обычно ученик использует теорему Виета на примере уравнения x?-12x+35=0.

Его корни связаны соотношениями x?+x?=12 и x?x?=35. Их записывают обычно в системе и, что важно, именно в таком порядке.

Ученик начинает подбирать какие-то числа. Но чаще всего отталкивается от суммы корней.

Таким образом ему нужно быстро проверить шесть вариантов разбиения числа 12: 1+11, 2+10, 3+9, 4+8, 5+7, 6+6.

Однако, правильно начинать перебор с произведения. Всего в итоге будет только пара претендентов: 35=5?7=1?35. Одна из них, очевидно, даёт в сумме 12.

Количество вычислений в уме сократилось в три раза.

Школьник на первом уровне думает, что для правильного подбора нужно быстро разбивать на слагаемые, что нужно тренировать внимательность или лучше сосредотачиваться.

Школьник на следующем уровне знает правильную технику подбора. В какой-то момент он начинает мыслить свободный член сразу разложенным на множители.

3. Уравнение 5(x?-2)?-9,2=0 в задачнике Галицкого.

Это задание находится в самом начале темы «Неполные квадратные уравнения».

Если вы прервётесь и попробуете сейчас его решить, то наверняка поймёте, в чём проблема.

В нём очевидная опечатка. Она есть в издании задачника и 2001 года, и 2003 года.

Иногда я «забываю», что это некорректный пример, и даю ученикам этот номер на дом как есть.

Четыре реакции учеников:

а) Не понимает, как решать уравнение в принципе. Не смотря на то, что на занятии мы разобрали схожий пример.

Сперва ученик домножает уравнение на пять. Далее раскрывает скобки, получает уравнение четвёртой степени и вязнет в задаче.

Про биквадратные уравнения на этом этапе мы пока не знаем.

Умножение на пять нужно для того, чтобы избавиться от десятичных дробей. В подобных примерах мы всегда стремимся работать только с целыми числами.

б) Понимает, что после переноса 9,2 и умножения на 5 мы должны приравнять полный квадрат слева к числу справа.

Но так как в правой части неточный квадрат, ученик теряется.

Вроде на занятии все хорошо извлекалось, а тут нет.

в) Не боится неточного квадрата, работает с корнями и решает задачу до конца.

Да, получаются вложенные корни. Да, ответ выглядит громоздко. Но решение-то верное!

г) В какой-то момент ученик понимает, что задача какая-то странная.

Иногда дорешивает до конца с исходными данными, иногда нет.

Но потом рассуждает примерно так: «Раз на занятии в схожей задаче были только полные квадраты, то скорее всего здесь опечатка. Если поправить одну цифру и вместо 9,2 написать 9,8, то задача легко решается.»

В итоге заменяет число с опечаткой и решает корректное уравнение. Часто после домножения на 5 сразу раскладывает левую часть по формуле разности квадратов.

Этот последний случай не совсем про уровни обучения, о которых мы говорили ранее.

Скорее он о том, что некоторые ученики умеют рефлексировать и видеть образовательный контекст целиком. Это своего рода педагогический стиль мышления.

Такие ученики могут находиться не только внутри своей подготовки, но и изредка подниматься над ней.

Это помогает им эффективнее готовиться к экзаменам. В том числе и самостоятельно.

4. Тригонометрия.

Посмотрим на некоторые тригонометрические уравнения и рассуждения учеников на соответствующих уровнях.

а) sinx = 1

Это элементарное тригонометрическое уравнение Гуманитарного уровня.

Решается довольно просто: рисуем тригонометрическую окружность, отмечаем точку ?/2 и добавляем 2?n.

Некоторые школьники вообще решают его на уровне узнавания.

Видят последовательность символов s i n x = 1 и сразу выписывают ответ.

Ведь в принципе достаточно выучить ответы для синуса и косинуса слева и случаев ±1 и 0 справа.

б) sin2x = 1

В классификации уровней подготовки это уравнение ближе к Профильному.

И действительно эта задача принципиально иного уровня сложности.

Тут нужно понимать, что синус берется от угла 2x.

Нельзя просто «перенести двойку вперёд» и решать уравнение 2sinx=1. Пусть там и получится sinx=1/2 и красивые углы в ответе.

sin и 2x абсолютные разные сущности.

Не все ученики понимают, что элементарные уравнения могут иметь разные аргументы: siny=1, sint=1 или даже sinnx=1.

Но для решения этих уравнений нужно хотя бы в общих чертах понимать, что такое «аргумент функции».

в) sin2x = sinx

Справа теперь не число, а ещё один синус.

Это Технический уровень.

Уже надо понимать, что в синусе слева свернута формула двойного угла.

Ученик может помнить, что sin2x=2sinxcosx. Он может знать и все остальные формулы наизусть.

Но чтобы вовремя их применить, нужен отдельный навык.

Обратите внимание, как отличаются эта задача и предыдущая.

В sin2x=1 мы работаем с цельным аргументом 2x и относительно него решаем задачу. Несмотря на то, что слева двойной угол, мы синус не расписываем по формуле.

В sin2x=sinx эта цельность не нужна. Мы работаем с конструкцией sin2x, которую нужно разложить на множители. Ведь справа уже есть один из этих множителей.

Схожая ситуация с сos2x.

Внутри этой конструкции может сидеть как sin?x, так и cos?x. В зависимости от конкретного уравнения мы подбираем удобную формулу.

г) sin2x=sinx+cosx-1

Идея решения этого уравнения типична для Перечневого уровня. Особенно часто она встречается в ДВИ МГУ.

Здесь нужно знать замечательный факт: (sinx+cosx)? = 1+sin2x.

Тогда получаем (sinx+cosx)?=sinx+cosx. Далее переносим влево и раскладываем на множители.

Для школьников на этом уровне нужно всегда держать в уме, что sin2x косвенно зависит от sinx+cosx.

Кстати, можете также вывести формулу зависимости sin2x от sinx-cosx.

д) Доказать, что cos(nx) = T?(cosx), sin(nx)=sinx?U???(cosx). Где T?(z) и U?(z) – многочлены степени n.

Это задача Олимпиадного уровня с сайта problems.ru (№61099).

Тут уже нужно что-то знать про формулу Муавра, про многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля (многочлены Чебышёва) и использовать какие-то элементы функционального анализа.

Желающие могут прочесть про многочлены Чебышёва в книге «Рассказы о числах, многочленах и фигурах» (Прасолов В.В.), глава 13 или в статье «Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения» в журнале Квант (http://kvant.mccme.ru/1982/01/mnogochleny_chebyshyova_i_reku.htm)

Примеров подобных нюансов огромное количество.

Опытный педагог, который работал с учениками разных уровней, с ходу может привести десяток таких примеров.

Тем более, если у него есть опыт вытягивания хотя бы пары учеников на новый уровень.

Все эти примеры я показал, чтобы донести следующую мысль.

Когда ученик путается в алгоритме, когда стабильно делает якобы глупые ошибки, то скорее всего он просто находится на другом уровне подготовки.

Это не особенность ученика, это особенность его текущего стиля мышления. И если он планирует двигаться вперёд, то этот стиль придётся постепенно менять.

Мало просто пару раз показать принципиально новый способ решения и дать его домой на отработку.

Для перехода на следующий уровень нужен целый комплекс действий.

Всё это занимает далеко не одно занятие. А с некоторыми учениками и вовсе не получается перейти выше, как бы они не старались.

Источник: kvant.mccme.ru

Комментарии: